理论力学3分析力学基础课后答案.pdf

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1、第3章分析力学基础3-1如图3-1a所示，离心调速器以角速度ω绕铅直轴转动。每个球质量为m1，套管O质量为m2，杆重略去不计。OC=EC=AC=OD=ED=BD=a，求稳定旋转时，两臂OA和OB与铅直轴的夹角θ。BFIEF′yImgaaaamg11aaθθOmg2ωx(a)(b)图3-1解取整个系统为研究对象，系统具有理想约束。系统所受的主动力为m1g、m1g、m2g，假想加上2个小球的惯性力FI′、FI，则22F=F′=ωAE⋅m=2maωsinθII11取坐标系Exy，则x=x=0,y=−2asinθ，y=2asinθ,x=2ac

2、osθABABO对相应坐标的变分δx=δx=0,δy=−2acosθδθ,δy=2acosθδθABABδx=−2asinθδθO根据动力学普遍方程，有−Fδy+Fδ′y+mgδx+mgδx+mgδx=0IAIB2O1A1B把有关量代入上式，得22−2maωsinθ(−2acosθδθ)+2maωsinθ(2acosθδθ)+mg(−2asinθδθ)112+mg⋅0+mg⋅0=011因δθ≠0，化简，得m2cosθ=g24amω13-2应用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程。分别以下列参数为广义坐标：（1）转角ϕ；（2）水平坐标x；

3、（3）铅直坐标y。解取轴x为零势能面（1）转角ϕ为广义坐标小球势能V=−mglcosϕ小球动能12T=m(ϕ&l)2拉氏函数122L=T−V=mlϕ&+mglcosϕ2图3-2249代入拉格朗日方程，得2mlϕ&&+mglsinϕ=0gϕ&&+sinϕ=0l（2）水平坐标x为广义坐标，此时有22−xx&y=l−x，y&=22l−x小球势能22V=−mgl−x小球动能22m221x&lT=(x&+y&)=m2222l−x221x&l22L=T−V=m+mgl−x222l−x2∂Lmlx&=22∂x&l−x222d∂Lml&x&2mlx&

4、x()=+22222dt∂x&l−x(l−x)22∂Lmlx&xmgx=−∂x(l2−x2)222l−x代入拉格朗日期方程，有222&x&lx&lxxm+m+mg=0l2−x2(l2−x2)2l2x2−3即l2[](l2−x2)&x&+xx&2+gx(l2−x2)2=0（3）铅直坐标y为广义坐标，此时有22−yy&x=l−y，x&=22l−y小球势能V=-mgy22m221y&l小球动能T=(x&+y&)=m2222l−y22mly&L=T−V=⋅+mgy222l−y2222∂Lmly&d∂Lml&y&2mly&y=,()=+2222

5、222∂y&l−ydt∂y&l−y(l−y)22∂Lmly&y=+mg222∂y(l−y)代入拉格朗日方程，得222ml&y&my&ly+−mg=022222l−y(l−y)2222222则l[(l−y)&y&+yy&]−g(l−y)=03-3质量为m的质点悬在1线上，线的另1端绕在1半径为R的固定圆柱体上，如图2503-3所示。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量。求此摆的运动微分方程。解取θ为广义坐标，设小球的静平衡位置为其零势能点。系统势能V=mg[](l+Rsinθ)−(l+θR)cosθ系统动能12T=m[]

6、θ&(l+θR)2拉氏函数图3-31[]&2[]L=T−V=mθ(l+θR)−mgl+Rsinθ−(l+θR)cosθ2∂L&2=mθ(l+Rθ)∂θ&d(∂L)=mθ&&(l+Rθ)2+2m(l+Rθ)Rθ&2dt∂θ&∂L&2[]=mθR(l+Rθ)−mgRcosθ+(l+Rθ)sinθ−Rcosθ∂θ=mR(l+Rθ)θ&2−mg(l+Rθ)sinθ代入拉氏方程，得222mθ&&(l+θR)+2mRθ&(l+Rθ)−mR(l+Rθ)θ&+mg(l+Rθ)sinθ=0化简得2(l+Rθ)θ&&+Rθ&+gsinθ=03-4在图3-

7、4a所示行星齿轮机构中，以O1为轴的轮不动，其半径为r。全机构在同1水平面内。设两动轮皆为均质圆盘，半径为r，质量为m。如作用在曲柄O1O2上的力偶矩为M，不计曲柄的质量。求曲柄的角加速度。vO2vAvO3MϕO1OOB2A3ω2(a)(b)图3-4解选取曲柄的转角ϕ为广义坐标，分别对轮O2、O3进行速度分析如图3-4a。对轮O2，点B为轮O2的速度瞬心。所以v2rϕ&02ω===2ϕ&2rr又v=2rω=4rϕ&A2对轮O3：v=4rϕ&03由于v03=vA故轮O3作平移，ω3=0。系统动能1211221222T=m(2rϕ&)+(

8、mr)(2ϕ&)+m(4rϕ&)=11mrϕ&2222广义力251∑δWF==MQϕδϕ2代入拉格朗日方程，得22mrϕ&&=MMϕ&&=α=222mr3-5斜块A质量为mA，在常力F作用下水平向右并推动活塞杆BC向上运