大一高数笔记

《大一高数笔记》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、导数与极限（一）极限1.概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（定义），，当时，有。（2）单侧极限左极限：，，当时，有。右极限：，，当时，有。（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：，当，成立，则称常数为函数在趋于无穷时的极限，记为。为曲线的水平渐近线。定义2：，当时，成立，则有。定义3：，当时，成立，则有。运算法则：1)1)       若，，则。2)2)       若，，则。3)3)       若，则。注：上述记号是指同一变化过程。（4）无穷小的定义，，当时，有，则称函数在时的无穷小（量），即。（5）无穷大的定义，，当时，有，则称函数在时的无穷大（量）

2、，记为。直线为曲线的垂直渐近线。 2．无穷小的性质定理1有限多个无穷小的和仍是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。无穷小与无穷大的关系若，且不取零值，则是时的无穷小。3．极限存在的判别法（1）。。（2），其中是时的无穷小。（3）夹逼准则：设在点的某个去心邻域内有，且已知和，则必有。4．极限的性质（1）极限的唯一性若且，则。（2）局部有界性若，则，在点的某个去心邻域内有。（3）局部保号性（I）若，且（或），则必存在的某个去心邻域，当时，有（或）。（II）若在点的某个去心邻域内有（或），且，

3、则（或）。 5．极限的四则运算与复合运算设是常数，则（1）（2）（3）（4）（5）则. 6．两个重要极限（1）；（2）或。 7．无穷小的阶的比较若和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则（1）若，则称关于是高阶无穷小量，记作；（2）若，则称和是等价无穷小量，记作；（3）若，则称和是同阶无穷小量，记作；一般情况下，若存在常数，，使成立，就称和是同阶无穷小量。（4）若以作为时的基本无穷小量，则当（为某一正数）时，称是阶无穷小量。 定理1。定理2设，，且存在，则。常用的等价无穷小时，，。（二）函数的连续性1．定义若函数在点的某个邻域内有定义，则在点处连续。2．连续函数

4、的运算连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数；连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；一切初等函数在定义区间内都是连续函数。3．间断点（1）间断点的概念不连续的点即为间断点。 （2）间断点的条件若点满足下述三个条件之一，则为间断点：（a）在没有定义；（b）不存在；（c）在有定义，也存在，但。（3）间断点的分类：（i）第一类间断点：在间断点处左右极限存在。它又可分为下述两类：可去间断点：在间断点处左右极限存在且相等；跳跃间断点：在间断点处左右极限存在但不相等；（ii）第二类间断点：在间断点处的左右极限至少有一个不存在。4．闭区间上连续函数的性质（1）概念若

5、函数在区间上每一点都连续，在点右连续，在点左连续，则称在区间上连续。（2）几个定理最值定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有最大和最小值。有界性定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有界。介值定理：如果函数在闭区间上连续，则对介于和之间的任一值，必有，使得。零点定理：设函数在闭区间上连续，若，则必有，使得。（三）导数1．导数的概念（1）定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量，若极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数（或微商），记作。导数定义的等价形式有。（2）左、右导数左导数右导数存在。 2．导数的几何意义

6、函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，从而曲线在点处的切线方程为法线方程为3．函数的可导性与连续性之间的关系函数在点处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。因此，若函数点处不连续，则点处必不可导。4．求导法则与求导公式（1）四则运算若均为可导函数，则，，，（其中为常数），，（）。 （2）复合函数求导设，，且和都可导，则复合函数的导数为。（3）反函数的导数若是的反函数，则。（4）隐函数的导数由一个方程所确定的隐函数的求导法，就是先将方程两边分别对求导，再求出即可。（5）对数求导法先对函数求对

7、数，再利用隐函数求导的方法。对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。（6）参数方程的导数若参数方程确定了一个函数，且均可导，则有。（7）基本初等函数的导数公式（，）（，）5．高阶导数（1）高阶导数的概念：函数的一阶导数的导数称为的二阶导数，的二阶导数的导数称为的三阶导数，……，的阶导数的导数称为的阶导数，分别记为，或。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。（2）常用的阶导数公式，，，，。（3）莱布尼茨公式设和都是次可微函数，则有。 复习指导 重点：求函数的极限、连续、导数。难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。1．求极限的方法：（1）利用定义（语言）