函数奇偶性知识点与经典题型归纳

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1、函数奇偶性　知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在时有定义，则．（2）若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数．2．奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的

2、单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数是偶函数，求的值.解：∵函数f(x)＝ax2＋bx是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴ax2＋bx=ax2-bx.∴2bx=0.∴b＝0.【例3】已知函数在轴左边的图象如下图所示，

3、画出它右边的图象.题型一判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）；5（2）；（3）；（4）；（5）（6）解：（1）的定义域为R，关于原点对称．∵∴，即是偶函数．（2）的定义域为由于定义域关于原点不对称故既不是奇函数也不是偶函数．（3）的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝

4、－x＋1

5、－

6、－x－1

7、＝

8、x－1

9、－

10、x＋1

11、＝－(

12、x＋1

13、－

14、x－1

15、)＝－f(x)，∴f(x)＝

16、x＋1

17、－

18、x－1

19、是奇函数．（4）的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故既不是奇函数也不是偶函数．（5）的定义域为{1，－1}，由且

20、，所以所以图象既关于原点对称，又关于y轴对称故既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．即即∴为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，求f(－3)和f(0)的值.解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.5【例5】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g

21、(1).解：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得，所以－f(1)＋g(1)＝2①f(1)＋g(1)＝4②由①②消掉f(1)，得g(1)＝3.题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x3－x2，当x>0时，求f(x)的解析式.解：当时，有所以又因为在R上为偶函数所以所以当时，.【例7】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，求.解：因为为偶函数，为奇函数所以，因为①所以所以②由①②式消去，得.课堂练习u仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.函数是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是

22、偶函数D.非奇非偶函数2.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A.2B.1C.0D.-23.f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时，有（）A．f(x)≤2B．f(x)≥2C．f(x)≤－2D.f(x)∈R4.已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（）A.f（0）＜f（－1）＜f（2）B.f（－1）＜f（0）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）5.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（

23、）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6.定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜05的解集为（）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3）7.若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)f(1)C．f(2)>f(3)D．f(－3)

24、偶函数，则f(x)在[1,2]上(　　)A．为减函数，最大值为3B．为减函数，最小值为－3C．为增函数，最大值为－3D．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝x^3B．y＝－x