函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳

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1、实用标准文档●高考明方向1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.★备考知考情1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．3.多以选择题、填空题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P18注意：研究函数奇偶性必须先求函数的定义域知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x

2、，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．文案大全实用标准文档3.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.知识点二奇函数、偶函数的性质1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2.若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)0.3.若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(

3、x

4、).《名师一号》P19问题探究问题1奇函数与偶函数的定义域有什么特点？(1)判断函数的奇偶性，易忽视

5、判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(2)判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)、f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．(补充)1、若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0．f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件2．判断函数的奇偶性的方法（1）定义法：1)首先要研究函数的定义域，文案大全实用标准文档2)其次要考虑fx与fx的关系，也可以用定义的等价形式：f(x)f(x)0（对数型函数用），f(x)

6、1（指数型函数用）．f(x)3)分段函数应分段讨论（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．（3）复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法知识点三函数的周期性1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称非零常数T为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正

7、周期．并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数f(x)a(xR)；文案大全实用标准文档3.几个重要的推论（1）《名师一号》P19问题探究问题3若函数f(x)恒满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；1若函数f(x)恒满足f(xa)(a0)，f(x)则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；1若函数f(x)恒满足f(xa)(a0)，f(x)则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；(补充)若函数f(x)恒满足f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ab是它的一个周期；（2）(补充)注意区分：若f(a

8、x)f(ax)（或f(x)f(2ax)）则函数f(x)关于xa对称。若f(x)f(2ax)则函数f(x)关于点a,0对称。推广：若函数f(x)恒满足f(ax)f(bx)ab则f(x)图象的对称轴为x。2文案大全实用标准文档（3）(补充)已知奇函数fx的图象关于直线xa对称，则fx是周期函数，且4a为其中的一个周期若偶函数fx的图象关于直线xa对称，则fx是周期函数，且2a为其中的一个周期二、例题分析：（一）证明（判断）函数的奇偶性例1.(补充)判断下列函数的奇偶性．2＋x(1)f(x)＝(2－x).2－xx＋2x<－1(2)

9、f(x)＝0

10、x

11、≤1.－x＋2x>111(3)f(x)＝＋(a>0且a≠1)ax－12解析：2＋x(1)由≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，2－x故f(x)为非奇非偶函数．文案大全实用标准文档(2)x<－1时，－x>1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．x>1时，－x<－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)．－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)．因此f(x)是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为{x

12、x∈R，且x≠