《简单抢渡长江》word版

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1、题目：抢渡长江摘要：渡河问题在实际生活中十分常见，怎样选择渡河方向以及怎样更多的节省时间，同时又能抵达目的地，那么渡河速度（大小方向）的选择是十分关键的，在此又由于诸多因素的影响（河流的水流速度，运动员体能，风向，水温等）致使要求我们作出合理的规划。本文通过适当的假设，从不同层次作了多方面分析，排除了一些偶然因素的影响，把游泳者抵达目的地的最小时间作为目标，通过简化的数学模型进行求解抢渡长江这一问题。主要运用三角函数、速度的合成与分解、线性关系、时间的相等性以及借助MATLAB数学软件进行求解。最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并给出了抢渡长江的推广和运用。关键词：抢渡长江

2、线性关系三角函数MATLAB数学模型问题重述：“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160

3、米。据报载，当日的平均水温16.8℃,江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之间的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况,并回答以下问题:1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明20026年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和

4、方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2、在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3、若流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4、若流速沿离岸边距离为连续分布,例如或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5、用普通人能懂的语言，给有

5、意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6、你们的模型还可能有什么其他的应用?二、模型假设：（1）人在游泳过程中不受风的影响（2）人游泳过程中不受水温的影响（3）将人看作是一个质点（4）两河岸是相互平行的三、符号定义Li代表运动员离起点的垂直距离S表示运动员离起点的水平距离Ti运动员在第i段中所用的时间u表示游泳者的速度表示水流的速度L表示两河岸的垂直距离S表示始点与终点的水平距离xyθuL=1160米S=1000米表示游泳者速度方向与x轴正半轴的夹角T表示游泳者到达终点的总时间表示水平方向上的速度表示竖直方向上的速度四、模型建立与求解O图(a)（一）对于问题1：假设游泳

6、者的速度大小和方向均不随着时间变化,令u(t)=(ucos,usin)；=（，0）建立坐标如图（a）所示：6a、经化简得y=x所以游泳者从起点到终点沿直线y=x运动。目标函数T==b、将L=1160米，S=1000米，=1.89米/秒，T=14分钟8秒=848秒代入目标函数求得=118.2o,u=1.57米/秒。c、将L=1160米，S=1000米，=1.89米/秒，u=1.5米/秒代入目标函数求得=121.7o,T=901秒=15.1分。（二）a、对于问题2，在问题1的假设下用1中所建立的模型将L=1160米，S=1000米，=1.89米/秒，=90o代入目标函数T==求得

7、T=529秒，u=2.19米/秒。由于2.19>1.57（1.57米/秒为2002年横渡长江中选手的最大速度），按问题2中所给定的条件，人的速度不可能达到2.19米/秒，故不能到达终点，被冲到长江下游。b、1934年和2002年能游到终点的人数百分比差别如此大的原因是：它们的全程不同（全程越大能够到达目的地的人越多）。所以我们给出了能够成功到达终点的条件为：T=≤（垂直方向上所用时间小于等于水平方向上所用时间）根据此等式，可能看出L、是定值当S的值不同时，和对游泳者能否到达目的地起到了决定性的作用。S值