量子力学导论习题答案.pdf

量子力学导论习题答案.pdf

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1、第一章量子力学的诞生ì¥,x<0,x>a1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,V(x)=íî0,0

2、,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向,把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x方向,有òp×dx=nh,(n=1,2,3,L)xxx即p×2a=nh(2a:一来一回为一个周期)xxp=nh/2a,xx同理可得,p=nh/2b,p=nh/2c,yyzzn,n,n=1,2,3,Lxyz22æ2n22ö1222phçnxynz÷粒子能量E=(p+p+p)=++nxnyn

3、z2mxyz2mça2b2c2÷èøn,n,n=1,2,3,Lxyz1221.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)=mwx中运动,用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示:利用òp×dx=nh,n=1,2,L,p=2m[E-V(x)]V(x)解:能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为x£a(1)122其中a由下式决定:E=Vx()=mwa。-a0axxa=22由此得a=2E/mw,(2)x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件+a+a12222Ñòpdx×=2ò2(mE-mwx)dx=2mwòa

4、-xdx2-a-a2p2=2maw×=mwpa=nh22nh2hn得a==(3)mwpmw代入(2),解出E=nhw,n=1,2,3,L(4)n222u22au积分公式:òa-udu=a-u+arcsin+c22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I,求能量的可能取值。2p2提示:利用pdj=nh,n=1,2,L,p是平面转子的角动量。转子的能量E=p/2I。òjjj0解:平面转子的转角(角位移)记为j。.它的角动量p=Ij(广义动量),p是运动惯量。按量子化条件jj2pòpdx=2pp=mh,m=1

5、,2,3,Ljj0p=mh,j因而平面转子的能量222E=p/2I=mh/2I,mjm=1,2,3,L第二章波函数与Schrödinger方程v2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。3(a)证明粒子的能量平均值为E=òdr×w,2h**w=Ñyy+yVy(能量密度)2m2*¶wvvhæ¶y¶y*ö(b)证明能量守恒公式+Ñ×s=0s=-çÑy+Ñy÷(能流密度)ç÷¶t2mè¶t¶tø证:(a)粒子的能量平均值为(设y已归一化)2*æh2ö3E=òyçç-Ñ+V÷÷ydr=T+V(1)è2m

6、ø3*V=òdryVy(势能平均值)(2)23*æh2öT=òdryçç-Ñ÷÷y(动能平均值)è2mø2hò3[(*)(*)()]=-drÑ×yÑy-Ñy×Ñy2m其中T的第一项可化为面积分,而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此2h3*T=òdrÑy×Ñy(3)2m2h**结合式(1)、(2)和(3),可知能量密度w=Ñy×Ñy+yVy,(4)2m3且能量平均值E=òdr×w。(b)由(4)式,得...2éù¶w=hêѶy*×Ñy+Ñy*×Ѷyú+¶y*Vyy+*V¶y¶t2mê¶t¶út

7、¶t¶tëûéæ..öæ..öù.2=hêÑ×ç¶y*Ñy+¶yÑy*÷ç-¶y*Ñ2y+¶yÑ2y*÷ú+¶y*Vyy+*V¶y2mêç¶t¶t÷ç¶t¶t÷ú¶t¶tëèøèøû..22v¶y*æh2ö¶yæh2ö*=-Ñ×+sç-Ñ+V÷y+ç-Ñ+V÷y¶tè2mø¶tè2mø..æö=-Ñ×+svEç¶y*y+¶yy*÷ç¶t¶t÷èøv¶=-Ñ×s+Er(r:几率密度)¶tv=-Ñ×s(定态波函数,几率密度r不随时间改变)¶wv所以+Ñ×s=0。¶t2.2考虑单粒子的Schrödinge

8、r方程2¶(v)h2(v)[(v)(v)](v)ihyr,t=-Ñyr,t+Vr+iVryr,t(1)12¶t2mV与V为实函数。12(a)证明粒子的几率(粒子数)不守恒。(b)证明粒子在空间体积t内的几率随时间的变化为dòòò3*hòò(**)v2V2òòò3*dryy=-yÑy-yÑy×dS+dryydt2imhtSt证:(a)式(1)取复共轭,得2¶*h2**-ihy=-Ñy+(V-iV)y(2)12¶t2m*y´(1)-y´(2),得2¶(*)h(*22*)*

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