2、，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有òp×dx=nh,(n=1,2,3,L)xxx即p×2a=nh（2a：一来一回为一个周期）xxp=nh/2a,xx同理可得，p=nh/2b,p=nh/2c,yyzzn,n,n=1,2,3,Lxyz22æ2n22ö1222phçnxynz÷粒子能量E=(p+p+p)=++nxnyn
3、z2mxyz2mça2b2c2÷èøn,n,n=1,2,3,Lxyz1221.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)=mwx中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示：利用òp×dx=nh,n=1,2,L,p=2m[E-V(x)]V(x)解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为x£a（1）122其中a由下式决定：E=Vx()=mwa。-a0axxa=22由此得a=2E/mw，（2）x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件+a+a12222Ñòpdx×=2ò2(mE-mwx)dx=2mwòa
4、-xdx2-a-a2p2=2maw×=mwpa=nh22nh2hn得a==（3）mwpmw代入（2），解出E=nhw,n=1,2,3,L（4）n222u22au积分公式：òa-udu=a-u+arcsin+c22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。2p2提示：利用pdj=nh,n=1,2,L,p是平面转子的角动量。转子的能量E=p/2I。òjjj0解：平面转子的转角（角位移）记为j。.它的角动量p=Ij（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件jj2pòpdx=2pp=mh,m=1
5、,2,3,Ljj0p=mh，j因而平面转子的能量222E=p/2I=mh/2I，mjm=1,2,3,L第二章波函数与Schrödinger方程v2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。3（a）证明粒子的能量平均值为E=òdr×w，2h**w=Ñyy+yVy（能量密度）2m2*¶wvvhæ¶y¶y*ö（b）证明能量守恒公式+Ñ×s=0s=-çÑy+Ñy÷（能流密度）ç÷¶t2mè¶t¶tø证：（a）粒子的能量平均值为（设y已归一化）2*æh2ö3E=òyçç-Ñ+V÷÷ydr=T+V（1）è2m
6、ø3*V=òdryVy（势能平均值）（2）23*æh2öT=òdryçç-Ñ÷÷y(动能平均值)è2mø2hò3[(*)(*)()]=-drÑ×yÑy-Ñy×Ñy2m其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此2h3*T=òdrÑy×Ñy（3）2m2h**结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度w=Ñy×Ñy+yVy,（4）2m3且能量平均值E=òdr×w。（b）由（4）式，得...2éù¶w=hêѶy*×Ñy+Ñy*×Ѷyú+¶y*Vyy+*V¶y¶t2mê¶t¶út
7、¶t¶tëûéæ..öæ..öù.2=hêÑ×ç¶y*Ñy+¶yÑy*÷ç-¶y*Ñ2y+¶yÑ2y*÷ú+¶y*Vyy+*V¶y2mêç¶t¶t÷ç¶t¶t÷ú¶t¶tëèøèøû..22v¶y*æh2ö¶yæh2ö*=-Ñ×+sç-Ñ+V÷y+ç-Ñ+V÷y¶tè2mø¶tè2mø..æö=-Ñ×+svEç¶y*y+¶yy*÷ç¶t¶t÷èøv¶=-Ñ×s+Er（r：几率密度）¶tv=-Ñ×s（定态波函数，几率密度r不随时间改变）¶wv所以+Ñ×s=0。¶t2.2考虑单粒子的Schrödinge
8、r方程2¶(v)h2(v)[(v)(v)](v)ihyr,t=-Ñyr,t+Vr+iVryr,t（1）12¶t2mV与V为实函数。12（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积t内的几率随时间的变化为dòòò3*hòò(**)v2V2òòò3*dryy=-yÑy-yÑy×dS+dryydt2imhtSt证：（a）式（1）取复共轭，得2¶*h2**-ihy=-Ñy+(V-iV)y（2）12¶t2m*y´（1）-y´（2）,得2¶(*)h(*22*)*
