曾谨言量子力学导论习题答案

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1、第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，,x,0xaV(x),00xa试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有an(n,3,2,1)22a/n（1）又据deBroglie关系ph/（2）而能量222Ep2/m2/mh2n222n2（3）n,3,2,1222m4a2ma1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起

2、内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有pdxnh,n,3,2,1xxx即p2anh（2a：一来一回为一个周期）xxpnh2/a,xx同理可得，pnh2/b,pnh2/c,yyzzn,n,n,3,2,1xyz粒子能量222n221222nxynzE(ppp)nxnynz2mxyz2ma2b2c2n,n,n,3,2,1xyz11221.3设质量为m的粒

3、子在谐振子势V(x)mx中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示：利用pdxnh,n,2,1,p2m[EV(x)]V(x)解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为xa（1）122其中a由下式决定：EV(x)mx。a0axxa22由此得a2E/m，（2）xa即为粒子运动的转折点。有量子化条件aa122222pdx22m(Emx)dx2maxdx2aa222mamanh22nh2n得a（3）mm代入（2），解出En,n,3,2,1（4）

4、n222u22au积分公式：auduauarcsinc22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。22提示：利用pdnh,n,2,1,p是平面转子的角动量。转子的能量Ep2/I。0解：平面转子的转角（角位移）记为。.它的角动量pI（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件2pdx2pmh,m,3,2,10pmh，因而平面转子的能量222Ep2/Im2/I，mm,3,2,12第二章波函数与Schrödinger方程2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动

5、。3（a）证明粒子的能量平均值为Edrw，2**wV（能量密度）2mw（b）证明能量守恒公式s0t2**s（能流密度）2mtt证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）2*23EVdrTV（1）2m3*VdrV（势能平均值）（2）23*2Tdr(动能平均值)2m23**dr2m其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此2

6、3*Tdr（3）2m结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度2**wV,（4）2m3且能量平均值Edrw。（b）由（4）式，得w2....****VVt2m2......***22***VV2m.2.2*22*sVV2m2m..**sE1s

7、E（：几率密度）ts（定态波函数，几率密度不随时间改变）w所以s0。t2.2考虑单粒子的Schrödinger方程22ir,tr,tVriVrr,t（1）12t2mV与V为实函数。12（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为d3***2V23*drSddrdt2imS证：（a）式（1）取复共轭，得2*2**iViV（2）12

8、t2m*（1）-（2）,得2**22**i2iV2t2m2***