量子力学 答案 曾谨言

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1、第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有（1）又据deBroglie关系（2）而能量（3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有即（：一来一回为一个周期）,同理可得，,,粒子能量1.3设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量

2、子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用72解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为（1）其中由下式决定：。0由此得，（2）即为粒子运动的转折点。有量子化条件得（3）代入（2），解出（4）积分公式：1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用是平面转子的角动量。转子的能量。解：平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件，因而平面转子的能量，第二章波函数与Schrödinger方程2.1设质量为的粒子在势场中运动。（a）证明粒子的能量平均值为，（能量密度）72（b）证明能量守恒公式（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（

3、设已归一化）（1）（势能平均值）（2）其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度（4）且能量平均值。（b）由（4）式，得（：几率密度）（定态波函数，几率密度不随时间改变）所以。722.2考虑单粒子的Schrödinger方程（1）与为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为证：（a）式（1）取复共轭，得（2）（1）-（2）,得（3）即，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积积分，得上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（），而第二

4、项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3设和是Schrödinger方程的两个解，证明。72证：（1）（2）取（1）之复共轭：（3）（3）（2）,得对全空间积分：，（无穷远边界面上，）即。2.4）设一维自由粒子的初态，求。解：2.5设一维自由粒子的初态，求。提示：利用积分公式或。解：作Fourier变换：，72，（）（指数配方）令，则。2.6设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，式中是的Fourier变换。提示：利用。证：根据平面波的时间变化规律，，任意时刻的波函数为72（1）当时间足够长后（所谓），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取，，

5、（2）参照本题的解题提示，即得（3）（4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。2.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。解：经典能量方程。在动量表象中，只要作变换，所以在动量表象中，Schrödinger为：。第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为72若，则这

6、时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，72证明处于定态的粒子讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数.（1）（2）在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回

7、作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故，（3），（4）当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。解：基态波函数为,（参P57，（12））72动量的几率分布3.5）设粒子处于半壁高的势场中（1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出:（2）其中（3）方程的解为（4）根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则当时，，则于是（5）在处，波函数及其一级导数连续，得72（6）上两方程相比，得（7）即（