量子力学导论习题答案ch6.doc

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1、第六章中心力场6.1)利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量（1）总动量（2）总轨迹角动量（3）总动能（4）反之，有（5），（6）以上各式中，证：，（17），（18）相对动量（1’）总动量（2’）总轨迹角动量由（17）、(18)可解出，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。总动能（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.1)同上题，求坐标表象中、和的算术表示式，解：（1）其中，而，同理，；（利用上题（17）（18）式。）；仿此可设

2、（2）代入（1）中，得（3）（4）只要将（3）、（4）式中的、以相应的算符代入即可。6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium，指束缚体系）（b）u原子（muonicatom）（c）u子偶素（muonium，指束缚体系）解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：,。（a）电子偶素能级，（）（b）u原子能级，（）（c）u子偶素能级，（）6.4）对于氢原子基态，计算。解：*在求坐标系中，空间反演：（）。氢原子基态波函数为（1）宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以（2）由于各

3、向同性，呈球对称分布，显然有（3）容易算出（4）（5）因此，（6），（7）（8）测不准关系的普遍结论是（9）显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）规定的下限。6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。解：氢原子基态波函数为，，相应的能量动能是经典不允许区。由上式解出为。因此，电子处于经典不允许区的几率为（令）6.6）对于类氢原子（核电荷）的“圆轨迹”（指的轨迹），计算（a）最可几半径；（b）平均半径；（c）涨落解：类氢原子中电子波函数可以表示为（1）（a）最可几半径由径向几率分

4、布的极值条件（2）决定。时，。代入（2）式，容易求得（4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（b）在态下，各之间有递推关系（Kramers公式）(5)（参钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）在（5）式中令，注意到。可设(6)依次再取，得到（7）（c）（8）因此，的涨落（9）（10）可见，越大，越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。6.7）设电荷为的原子核突然发生衰变，核电荷变成，求衰变前原子中一个电子（轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子的轨迹的几率。解：由于原子核的

5、衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的电子，其波函数仍未（1）而新原子中电子的波函数应为（2）将按新原子的能量本征态作线形展开：（3）则衰变前的电子在衰变后处于新原子的态的几率为（4）因此，本题所求的几率为（5）展开时保留到第三项当，上式可近似取成（5’）例如，,；,。6.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为（）（1）为Bohr半径，求价电子的能级。提示：令，解出解：取守恒量完全集为，其共同本征函数为（2）满足径向方程（3）令（4）式（3）就可以

6、化为（3’）相当于氢原子径向方程中换成。所以式（3’）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为，，（5）将换成，即得价电子的能级：，（6）通常令（7）（8）称为量子数和的“修正数”。由于，可以对式（4）作如下近似处理：略去，即得（9）由于，，因此，本题所得能级和氢原子能级仅有较小的差别，但是能级的“简并”已经消除。式（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤其是，修正数随之升高而减小，这一点和实验符合的极好。式（4）的精确解为（10）若对上式作二项式展开，保留项，略去以上各项，即可得到式（9）。6.9）在

7、二维谐振子势中的粒子，求解其能量本正值。对于二维各向同性（）的谐振子，求能级的简并度。（参书卷ⅠP302-303）解：