微分方程数值解第四次上机报告

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1、实验课程微分方程数值解实验名称第四次实验专业年级姓名南京信息工程大学实验(实习)报告实验曰期2016指导老师学号得分实验目的：*编程五点三层格式求解两道二阶波动方程定解问题；*讨论不同网格划分得到的数值求解结果.实验内容：1.编程内容对二阶波动方程定解问题(1)求解的程序见wave.ni文件，对定解问题(2)求解的程序见wave2.m文件.2.问题求解*先求解如下一道二阶波动方程定解问题(t范围取有限)：uz/=uxx,0<^<1,0

2、,0)=0,0<^<1.数值求解：用五点三层差分格式求解，先取空间步长Aa=0.02,时间步长2U=0.01，故柯朗数r=c—=0.5<1，满足稳定性条件.输出数值解三维图和末时刻解如图1.图1:疏网格(r=0.5)吋数值解三维图(左)和末吋刻解图像(右)从图1可以看出数值解图像纹理粗糙，末时刻解还有微量波动，这时可以加密网格获得更好的解.为加密网格，再取空间步长=0.002,吋间步长AZ=0.001.柯朗数不变，仍满足稳定性条件.输出数值解三维图和末时刻解如图2.从阁2可以看出数值解三维阁纹理相对阁1更为平滑，且直观上看末时刻解比较稳定。数值解

3、三维囹(lx)n裟®图2:较密网格（r=0.5）时数值解三维图（左）和末时刻解图像（右）再改动网格划分，取空间步长Az=0.001，时间步长Af=0.001，柯朗数==仍满足稳定性条件.输出数值解三维阁和末时刻解如阁3。匕x数似解二维阁末时刻解图3:较密网格（r=1）时数值解三维图（左）和末时刻解图像（右）从图3可以看出数值解三维图直观上看与图2几乎无差别，仍能很好刻画出精确解。且直观上看末时刻解依旧比较稳定。继续改动网格划分，取空间步长Ai=0.01，时间步长Af=0.012,柯朗数r=c—=1.2>1,此时将不满足稳定性条件.输出数值解三维图

4、和末时刻解如图4。数饱解•:關191未时刻解($□图4:较疏网格(r=1.2)吋数值解三维图(左)和末时刻解图像(右)从图4可以看出当柯朗数不满足穂定性条件时，数值解三维图刻画效果很差。且末时刻解波动极大，很不稳定。(2)*再求解如下一道二阶波动方程定解问题(t范围取有限)：urr=uxx,0<%<1,0<^<1.1

5、e2.m文件。精确解取60项，编程构造精确解矩阵：u_exactc=zeros(60,M,N〉；u_ec=zeros(M,N);fori=l:Mforj=l:Nfork=l:60%取60项u_exactc(k,i,j)=4/pi^4*(1-(-1)(k))/(k^4)*sin(k*pi*t(j))*sin(k*pi*x(i));u_ec(i,j)=sum(u_exactc(:,i,j));endendenduec=uec1;再构造末吋刻精确解：同禅是取60项，故Pj由上面构造的精确解矩阵最Ji2?行得出:u_e=u_ec(end,:);考虑计算精

6、确解有相当的时间复杂度，故这里使用较疏网格划分。取空间步长Ax=0.02,时间步长=0.01,柯朗数满足稳定性条件。编程输出精确解三维阁,数值解三维图，绝对误差三维图和末时刻的精确解及数值解图像如下：柏确解三维w数依觯三撖ra图5(a):精确解三维图1•-•00x15*O1X图5(b):数值解三维图阁5(c):绝对误差三维阁阁5(d):末时刻精确解与数值解图5:问题(2)求解输出图像从数值解和精确解图像上看，数值方法很好刻画出了精确解。从绝对误差上看，整个区域内的误差都在i(r5数量级，也说明方法比较稳定。从末时刻精确解与数值解图像上看，两考较为

7、贴合，无法直观上看出差别，也说明了方法的稳定性。*注：这里对f范围进行限制，取0

8、文件:clcclcclearclear%二阶波动方程求解%二阶波动方程求解c=l；%系数C的值c=l；%系数C的值a=l;%x范围a=l