01高等数学讲义长期班(汪诚义)第一章1-24

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1、第一章函数、极限、连续§1.1函数(甲)内容要点一、函数的概念1．函数的定义2．分段函数3．反函数4．隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1),例(2)，例2．用变上、下限积分表示的函数(1)其中连续，则(2)其中可导，连续，则五、函数的几种性质1．有界性：设函数在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称在X上是有界的。2．奇偶性：设区间X关于原点对称，若对，都有，则称在X上是奇函数。若对，都有，则称在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。重要公式3．单调性：设在X上有定义，若对

2、任意，都有23则称在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意，都有，则称在X上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）若在内，1．周期性：设在X上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称T为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。例(乙)典型例题一、定义域与值域例1设的定义域为（）求的定义域解：要求，则，当时，，，则当时，，也即或例2求并求它的反函数。解：，，，，，，，，，所以的值域为23反函数二、求复合函数有关表达式例1设，求解：，若，则根据数学归纳法可知，对正整数

3、，例2已知，且，求解：令，，因此，，∴三、有关四种性质例1设，则下列结论正确的是[]（A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数23例2求解是奇函数，是奇函数，因此是奇函数于是例3设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是[]（A）（B）（C）（D）思考题：两个周期函数之和是否为周期函数例1．例2．四、函数方程例1．设在上可导，，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。例2设满足，求解：令，则23，，，……，各式相加，得，∴因此，于是或（k为整数）思考题设均为常数，求方程的一

4、个解。§1.2极限(甲)内容要点一、极限的概念与基本性质1．极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限；；；；2．极限的基本性质23定理1（极限的唯一性）设，，则A=B定理2（极限的不等式性质）设，若变化一定以后，总有，则反之，，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）定理3（极限的局部有界性）设则当变化一定以后，是有界的。定理4设，则（1）（2）（3）（4）（5）二、无穷小量1．无穷小量定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）2．无穷大量定义：任给M>0，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。3．无穷小量与无穷

5、大量的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大量，则为无穷小量，23若为无穷小量，且，则为无穷大量。4．无穷小量与极限的关系：，其中5．两个无穷小量的比较设，，且（1），称是比高阶的无穷小量，记以称是比低阶的无穷小量（2），称与是同阶无穷小量。（3），称与是等阶无穷小量，记以6．常见的等价无穷小量，当时，，，，，，，。7．无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1：单调有界数列极限一定存在(1)若（为正整数）又（为正整数），则存在，且(2)若（为正整数）又（为正整数），则存在，且准则2：夹逼定理设。若，

6、，则3．两个重要公式公式1：23公式2：；；4．用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5．用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）当时，例：6．洛必达法则第一层次，直接用洛必达法则法则1：（型）设（1）（2）变化过程中，，皆存在（3）（或）则（或）（注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）23法则2：（型）设（1）（2）变化过程中，，皆存在（3）（或）则（或）第二层次，间接用洛必达法则型和型例第三层次：间接再间接用洛必达法则型、型、型7．利用导数定义求极限基本公式：[如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式[如果存在]9．其它综合方法10．求极限的反问题

7、有关方法例：已知（乙）典型例题一、有关无穷小量例1．例2．设当时，是比高阶的无穷小量，而又是比高阶的无穷小量，则等于（）（A）1（B）2（C）3（D）4二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限23例1设，，求解：例2设，，求解：特例（1）求解：例2中取，，可知原式（2）例3．求解：分子、分母用除之，原式=（注：主要用当时，）23例4设是正整数，求解：∴因此原式特例：（1）（）（2）（）三、用两个重要公式例1求解：当，原式=1当时，原式=…例2求解一：23解二：例3=例4极限（A）1