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时间:2018-11-04
《高等代数习题解答(第一章)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、WORD格式可编辑高等代数习题解答第一章多项式补充题1.当取何值时,多项式与相等?提示:比较系数得.补充题2.设,,证明:.证明假设不成立.若,则为偶数,又等于0或次数为偶数,由于,首项系数(如果有的话)为正数,从而等于0或次数为奇数,矛盾.若或则为奇数,而或为偶数,矛盾.综上所证,.1.用g(x)除f(x),求商q(x)与余式r(x):1)f(x)=x3-3x2-x-1,g(x)=3x2-2x+1;2)f(x)=x4-2x+5,g(x)=x2-x+2.1)解法一待定系数法.由于f(x)是首项系数为1的3次多项式,而g(x)是首项系数为
2、3的2次多项式,所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式,而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c根据f(x)=q(x)g(x)+r(x),即x3-3x2-x-1=(x+a)(3x2-2x+1)+bx+c右边展开,合并同类项,再比较两边同次幂的系数,得,,解得,,,故得专业技术资料整理分享WORD格式可编辑解法二带余除法.3-211-3-1-11-1得2)2.适合什么条件时,有1)2)1)解除得余式为:,令,即故的充要条件是2)解除得余式为:,令,即专业技术资料整理分享WORD格式可编辑解得的充要条件是或3.求除
3、的商与余式:1)2)1)解法一用带余除法(略).解法二用综合除法.写出按降幂排列的系数,缺项的系数为0:-320-50-80+-618-39117-3272-613-39109-327所以2)解法一用带余除法(略).解法二用综合除法.写出按降幂排列的系数,缺项的系数为0:1-2i1-1-10+1-2i-4-2i-9+8i1-2i-5-2i-9+8i所以4.把表成的方幂和,即表成的形式:1)2)3)注设表成的形式,则就是被除所得的余数,就是被除所得的商式再被专业技术资料整理分享WORD格式可编辑除所得的余数,逐次进行综合除法即可得到1)解
4、用综合除法进行计算1100000+111111111111+1234123451+136136101+1414101+115所以2)3)略5.求与的最大公因式:1)2)3)1)解用辗转相除法11-1-111-3-4-110111-1-1-1-2-3-1-2-2-1-1-1-10专业技术资料整理分享WORD格式可编辑所以2)3)6.求使1);2);3).1)解用辗转相除法1111-1-2-212-1-4-2110-2011-1-2-211-2-210-201010-2010-210-20由以上计算得因此,且所以.专业技术资料整理分享WOR
5、D格式可编辑2),.3),.7.设的最大公因式是一个二次多项式,求的值.解 略.8.证明:如果且为与的一个组合,那么是与的一个最大公因式.证明 由于,所以为与的一个公因式.任取与的一个公因式,由已知为与的一个组合,所以.因此,是与的一个最大公因式.9.证明:,(的首项系数为1).证明因为存在多项式和使,所以,这表明是与的一个组合,又因为,从而,故由第8题结论,是与的一个最大公因式.注意到的首项系数为1,于是.10.如果不全为零,证明:.证明存在多项式和使,因为不全为零,所以,故由消去律得专业技术资料整理分享WORD格式可编辑,所以.11
6、.证明:如果不全为零,且,那么.证明因为不全为零,故,从而由消去律得,所以.12.证明:如果,,那么.证法一用反证法.假设,则,从而有不可约因式,于是,但因为,所以不整除,所以,这与矛盾.因此.证法二由题设知,存在多项式,使得,,两式相乘得,所以.13.设都是多项式,而且求证:证法一反复应用第12题的结果证法二反证法专业技术资料整理分享WORD格式可编辑14.证明:如果,那么.证明由于,所以存在多项式和使,由此可得即于是,,应用第12题的结论可得.注也可以用反证法.15.求下列多项式的公共根:提示用辗转相除法求出于是得两多项式的公共根为
7、16.判别下列多项式有无重因式:1);2)1)解由于,用辗转相除法可求得,故有重因式,且是它的一个3重因式.2)解由于,用辗转相除法可求得,故无重因式.专业技术资料整理分享WORD格式可编辑17.求值使有重根.解.先用除得余式.当时,.此时,所以,所以1是的3重根.当时,.再用除得余式.故当时,.此时,,所以是的2重根.当且时,,则,此时无重根.综上,当时,有3重根1;当时,有2重根.18.求多项式有重根的条件.解略.19.如果,求.解法一设,则.因为,所以1是的重根,从而1也是的根.于是且,即解得.解法二用除得余式为,因为,所以,故解
8、得.专业技术资料整理分享WORD格式可编辑20.证明:没有重根.证法一设,则.因为,所以.于是没有重根.证法二设,则.假设有重根,则且,从而,得,但不是的根,矛盾.所以没有重根.21.略.22.证明:是的重
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