向量组的线性相关性的判定

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1、向量组的线性相关性的判定摘要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词：向量组；线性相关；行列式引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关

2、性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.1.向量组线性相关性

3、的相关定义及性质定义1.1定义在上的线性空间，对于给定的一组向量,如果存在个不全为0的数，使得.那么称是线性相关的.否则称是线性无关的.性质1.1若线性相关，则其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.证明若这个向量线性相关，那么，其中不全为0，不妨设，那么可解得.所以该结论是成立的.如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这个向量是线性相关的.这是因为如果设，那么移项得.显然，的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这个向量是线性相关的.性质1.2含有零向量的向量组必是线性相关的.性质1.3单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量.性质1.4若向量组线性无关，线性相关，那么可

4、由线性表示.性质1.5如果向量组的部分组线性相关，那么也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线性相关.向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.2.向量组线性相关性的判定方法2.1定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法.对给定的个向量，只需令.根据题中的条件去求即可.当不全为0时，是线性相关的.当全为0时，是线性无关的.例1设线性无关，证明也线性无关.证明设对于任意的，有.整理得.由于线性无关，得解得所以也线性无关.例2设，判断它们的线性相

5、关性.解设，令，整理得,所以有解得.从而是线性无关的.2.2利用向量空间的性质进行判定利用向量组的线性相关性的性质也可以判定很多题目.例3判断的相关性.证明由题意可得，那么由性质1.1知，是线性相关的.这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析.定理2.2.2维向量空间中任意个向量是线性相关的.例4设是上的线性空间，是上的线性变换.证明是线性相关的.证明设是上所有的线性变换组成的集合，关于线性变换的加法和数乘运算构成一个向量空间.而的维数为，又因为，所以由定理2.2.2知是线性相关的.从上面的例题可以看出，运用线性相关性的性质判断相关性是比较方便的，因此熟练地掌握线性相关性的

6、性质显得尤其重要.2.3利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组时，需由该方程组的解去判定这个向量组的相关性.即用定义法的同时也应用了齐次线性方程组的解进行了判定.一般地，要判断一个向量组是否线性相关就是看方程（1）有无非零解.从这里可以看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的维的向量组也是线性无关的.把（1）写出来就是（2）,因之，（1）线性相关的充要条件是（2）有非零解.因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.例5设,试判断它们是否线性相关.解令.即解得故是线性无关的.2.4利用矩阵的秩判定向量组的线性

7、相关性定理2.4.1设向量组是由个维列向量所组成的向量组，则向量组的线性相关性可由该向量组所构成的矩阵的秩来决定.（1）若,是无关的;（2）若，那么就是相关的.定理2.4.2设是阶梯型矩阵，矩阵经过一系列的行消法变换之后得到，即.那么元向量组线性相关的充要条件是矩阵中出现零行..推论向量组线性无关的充要条件是矩阵中不出现零行.对矩阵进行初等行变换化为阶梯型矩阵的过程，实质上是对进行行向量的线性运算.如果中出现零行，那么中一定有某个向量能被其余的个向量线性表示，即线性相