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《向量组线性相关性的几种判定方法_刘正理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第13卷第1期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.13No.12004年3月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScience)Mar.2004文章编号:1007-0834(2004)01-0015-03向量组线性相关性的几种判定方法刘正理(信阳教育学院数学系,河南信阳464000)摘要:探讨了矩阵的初等行变换、向量组的秩、用克莱姆法则或系数矩阵的秩判别齐次线性方程组有无非零解等相关知识在判定向量组线性相关性中的运用,归纳出判定向量组线性相关性的四种方法,研究了四种判定方法之间的关系及应用时应注意的题设条件.关键词:向量组;线性相
2、关;线性无关;判定方法中图分类号:O172文献标识码:A线性代数以行列式、矩阵、线性方程组、向量空x1α1+x2α2+……+xmαm=0有非零解,则向量组间作为主要研究内容.为了研究向量空间的结构,必线性相关;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线须研究向量之间的关系,于是向量组线性相关性的性无关.判定问题随之出现.笔者在教学中发现,这一问题的4行列式法解决,不仅要用到向量组线性相关或线性无关的概对于各分量都给出的向量组α1,α2,……,αm,念,还涉及行列式、矩阵、线性方程组等诸多知识点.当向量组中向量的个数m=向量的维数n时,以因此,对向量组的线性相关性的判定方法进行研究α1,
3、α2,……,αm作列构成方阵A,若detA=0,则向和整理是十分必要的.下面把判定向量组线性相关量组α1,α2,……,αm线性相关;若detA≠0,则向量性的几种常用方法归纳如下:组α1,α2,……,αm线性无关.1定义法例1若向量组α1,α2,α3线性无关,又β1=α1+对于各分量均未给出的向量组α1,α2,……,2α2,β2=α2+3α3,β3=α1+2α2+4α3,判定向量组β1,αm,由向量组线性相关或线性无关的定义出发,考β2,β3的线性相关性.虑下式k1α1+k2α2+……+kmαm=0成立时,如果解设有数k1,k2,k3,使k1β1+k2β2+k3β3=系数k1,k
4、2,……,km不全为零,则向量组α1,α2,0,即k1(α1+2α2)+k2(α2+3α3)+k3(α1+2α2+……,αm线性相关;如果k1=k2=……=km=0,则4α3)=0,整理,得(k1+k3)α1+(2k1+k2+2k3)α2+向量组α1,α2,……,αm线性无关.(3k2+4k3)α3=02秩法由题设α1,α2,α3线性无关,根据向量组线性无对于各分量都给出的向量组α1,α2,……,αm,关的定义,可得计算以α1,α2,……,αm作行构成的矩阵A的秩.若k1+k3=0r(A)5、k3=03判别齐次线性方程组有无非零解法解之,得k1=k2=k3=0对于各分量都给出的向量组α1,α2,……,αm,因此,β1,β2,β3线性无关.若以α1,α2,……,αm为系数向量的齐次线性方程组例2讨论向量组α1=(2,1,0,5),α2=(7,收稿日期:2004-01-08作者简介:刘正理(1950—),女,河南信阳人,信阳教育学院数学系高级讲师.·15·-5,4,-1),α3=(3,-7,4,-11)的线性相关性.α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,6),α3=(1,解法一计算以α1,α2,α3作行构成的矩阵A-3,-4,-7),α4=(2,1,-1,0)
6、的秩,利用初等行变换将A化成阶梯形矩阵来求TTTT解法一设A=[α1α2α3α4],计算r(A),即方阵A的行列式,即α12105(-1)×r3+r11412(-2)×r+r(-2)×r3+r212A=α2=7-54-12-1-31(-1)×r1+r3detA=α33-74-111-5-4-1-18-416r1+r236-703×r1+r319-42114123-74-110-9-5-3=0-18-4160-9-5-3(-1)×r2+r3017-83736-70017-837故向量组α1,α2,α3,α4线性相关.-18-416解法二计算以α1,α2,α3,α4作行构成的矩阵01
7、7-837A的秩,利用初等行变换将A化成阶梯形矩阵来求0000r(A),即由阶梯形矩阵知,r(A)=2<3=m,故向量组α11213(-4)×r1+r2(-1)×r1+r3α1,α2,α3线性相关.α24-1-56(-2)×r1+r4解法二考虑以α1,α2,α3为系数向量的齐次A==α31-3-4-7线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=0有无非零解.α421-10上述方程组即1-×r22x31+7x2+3x3=01-×r3x1-5x2-7x3=0121351-×r44x2+4
