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1、P83习题5.15.1.1证：设*运算有左幺元为el，∴"xÎS，el*x=el，∵*运算可交换，∴x*el，∴el为右幺元，∴el为幺元。设*运算有右幺元为er，∴"xÎS，x*er，∵*运算可交换，∴er*x=er，∴er为左幺元，∴er为幺元。※5.1.2解：⑴是。⑵否。是。5.1.3证：⑴"x,yÎIx*y=x+y－xyy*x=y+x－yx∵普通的乘法和加法运算均是可交换的，∴x+y=y+x，xy=yx，∴x+y－xy=y+x－yx∴x*y=y*x，∴*可交换。⑵"x,y,zÎIx*(y*
2、z)=x+(y*z)－x(y*z)=x+(y+z－yz)－x(y+z－yz)∵普通的乘法和加法运算均是可结合且可交换的，乘法对加减法是可分配的，∴上式=x+y+z－yz－xy－xz+xyz=x+y+z－xy－xz－yz+xyz同理(x*y)*z=(x*y)+z－(x*y)z=(x+y－xy)+z－(x+y－xy)z=x+y+z－xy－xz－yz+xyz∴x*(y*c)=(x*y)*c∴*可结合。※解：⑶0为幺元。⑷0的逆元为0，2的逆元为2，其余无逆。5.1.4证：⑴2*3=2，3*2=3，二者不
3、等，故不可交换。⑵"x,y,zÎN，x*(y*z)=x*y=x，(x*y)*z=x*z=x，二者相等，故结合律成立。※答：无单位元，故元素无逆元。5.1.5证：∵*可结合，∴"xÎA，(x*x)*x=x*(x*x)又∵x*xÎA，根据题中给定的条件，∴x*x=x。※P84习题5.25.2.1解：+·-
4、x-y
5、maxmin一元减法
6、x
7、⑴IYYYYYYYY⑵NYYNYYYNY⑶{x
8、0≤x≤10}NNNYYYNY⑷{x
9、-5≤x≤5}NNNNYYYY⑸{x
10、-10≤x≤0}NNNYYYNN⑹{2x
11、
12、xÎI}YYYYYYYY5.2.2解：×对+可分配。+对×不可分配。例b+(a×b)=b+a=b，(b+a)×(b+b)=b×a=a，二者不等。5.2.3解：⑴是。∵两运算皆在S1上封闭，根据代数系统的定义。⑵是。∵S1ÍB，再根据⑴和子代数的定义。28⑶是。∵S2ÍB，两运算皆在S2上封闭，根据子代数的定义。⑷否。∵aÅb=1ÏS3Å在S3上不封闭。P86习题5.35.3.1⑴证明：因为两个代数载体集合基数不同，所以无法在两个集合之间建立双射。*ab∧01aab000bba111⑵例：代数({
13、a,b},*)和({0,1},∧)同类型，它们的运算表如右。载体集合基数均为2，运算表如右。两集合之间的双射只有两种可能；①f(a)=0，f(b)=1。此时，f(a*b)=f(b)=1¹f(a)∧f(b)=0∧1=0，∴f不是同态。②f(a)=1，f(b)=0。此时，f(a*b)=f(b)=0¹f(a)∧f(b)=1∧0=1，∴f不是同态。∴两代数之间不存在同态映射，∴两代数不同构。5.3.2证：⑴按已知条件可知，A和B为同类型的代数系统。⑵"m,nÎN①当m和n至少有一个不是2的幂时，m×n也必
14、不是2的幂。不妨设m不是2的幂。∴f(m×n)=0，f(m)×f(n)=0×f(n)=0，∴f(m×n)=f(m)×f(n)②当m和n都是2的幂时，m×n也必是2的幂。∴f(m×n)=1，f(m)×f(n)=1×1=1，∴f(m×n)=f(m)×f(n)∴f是一个A到B的同态映射。※5.3.3证：两代数是同类型的。取双射f：S→P，f(a)=3，f(b)=2，f(c)=1，f(a*a)=f(a)=3=f(a)◦f(a)=3◦3，f(a*b)=f(b)=2=f(a)◦f(b)=3◦2，f(a*c)=
15、f(c)=1=f(a)◦f(c)=3◦1，f(b*a)=f(b)=2=f(b)◦f(a)=2◦3，f(b*b)=f(b)=2=f(b)◦f(b)=2◦2，f(b*c)=f(b)=2=f(b)◦f(c)=2◦1，f(c*a)=f(c)=1=f(c)◦f(a)=1◦3，f(c*b)=f(b)=2=f(c)◦f(b)=1◦2，f(c*c)=f(c)=1=f(c)◦f(c)=1◦1，∴f是同态，∴f是同构。※5.3.4答：是。证：两代数是同类型的。取双射f：{Φ,A}→{{a,b},A}，f(Φ)={a,
16、b}，f(A)=A。f(Φ∩Φ)=f(Φ)={a,b}=f(Φ)∩f(Φ)={a,b}∩{a,b}，f(Φ∩A)=f(Φ)={a,b}=f(Φ)∩f(A)={a,b}∩A，f(A∩Φ)=f(Φ)={a,b}=f(A)∩f(Φ)=A∩{a,b}，f(A∩A)=f(A)=A=f(A)∩f(A)=A∩A；f(Φ∪Φ)=f(Φ)={a,b}=f(Φ)∪f(Φ)={a,b}∪{a,b}，f(Φ∪A)=f(A)=A=f(Φ)∪f(A)={a,b}∪A，28f(A∪Φ)=f(A)=A=f(A)∪
