近世代数习题与答案

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1、本题得分一、选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。(A)｛1，－1，i,－i｝(B)｛1，－1｝(C)｛1，－1，i｝2、设H是群Ｇ的子群，a，b∈Ｇ，则aH=bH的充要条件是（）。(A)a－1b－1∈H(B)a－1b∈H(C)ab－1∈H3、在模6的剩余类环Z6中，Z6的极大理想是()。(A)（），（）(B)（）(C)（）4、若Q是有理数域,则(Q():Q)是()。(A)6(B)3(C)25、下列不成立的命题是()。(A)欧氏环是主理想

2、环(B)整环是唯一分解环(C)主理想环是唯一分解环本题得分二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R为整环，a，b∈R，b

3、a，则（b）（a）。2、F是域，则是域当且仅当。3、域F上的所有n阶方阵的集合M(F)中，规定等价关系A～B秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。4、6次对称群S中,(1235)(36)=____________。5、12的剩余类环Z12的可逆元是。本题得分三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“

4、√”，错误的打“×”）1、设是群，≠H，若对任意a,b∈H可推出ab∈H，则H≤G..（）2、群中的元，,则。()3、商环是一个域。（）4、设f是群G到群的同态映射，若，则。（）5、任意群都同构于一个变换群。（）本题得分四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、找出的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想,写出的全部元。2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。本题得分五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分）1、设f是群G到群的满同态，N是G的正规子群，证明：

5、。2、设NG,[G:N]=2008,证明：对,恒有。3、设R为交换环，若R的理想P≠R,则R／P是整环当且仅当P是素理想。4、设R[x]是实数域R上的一元多项式环，取，证明：，C为复数域。《近世代数》测试题（一）一、选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（）构成群。(A)aob=a+b-2(B)aob=a b(C)aob=2 a+3 b（“ ”为数的乘法）2、设H≤G，a，b∈G，则H a=H b的充要条件是（）.(A)ab∈H(B)ab－

6、1∈H(C)a－1b∈H3、在整数环Z中，包含（15）的极大理想是（）。(A)（3）(B)（5）(C)（3）或（5）4、若Q是有理数域,则(Q():Q)是()(A)6(B)3(C)25、下面不成立的命题是（）(A)域是整环(B)除环是域(C)整数环是整环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、环Z(i)={a+bi

7、a,bZ}的单位是________________。2、若a是群G中的一个8阶元,则a的阶为________。3、设M100(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M10

8、0(F)中规定等价关系～下：A～B秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。4、6次对称群S中,(1245)(46)=____________。5、12的剩余类环Z12的零因子是。三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、若HN，HG,那么NHG。（）2、设I是一主理想环，则I是一欧氏环。（）3、商环是一个域。（）4、设f是群G到群的同态映射，HG，则f(H)。（）5、素数阶的群G一定是循环群。（）四、计算题（本题共2小题,每小题

9、10分，共20分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、在10次对称群S10中，=.将表成一些不相交轮换之积，并求及。2、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分）1、设f是环R到环的满同态，A为R的理想，证明：。2、设NG,[G:N]=2009,证明：对,恒有。3、设R为交换环，则R的每个极大理想都是素理想。4、设G与是两个群，，K=Kerf，，令H={x

10、x∈G ，f(x)∈}，证明：且。