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1、本题得分一、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是()。(A){1,-1,i,-i}(B){1,-1}(C){1,-1,i}2、设H是群G的子群,a,b∈G,则aH=bH的充要条件是()。(A)a-1b-1∈H(B)a-1b∈H(C)ab-1∈H3、在模6的剩余类环Z6中,Z6的极大理想是()。(A)(),()(B)()(C)()4、若Q是有理数域,则(Q():Q)是()。(A)6(B)3(C)25、下列不成立的命题是()。(A)欧氏环是主理想
2、环(B)整环是唯一分解环(C)主理想环是唯一分解环本题得分二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)(请将正确答案填入空格内)1、R为整环,a,b∈R,b
3、a,则(b)(a)。2、F是域,则是域当且仅当。3、域F上的所有n阶方阵的集合M(F)中,规定等价关系A~B秩(A)=秩(B),则这个等价关系决定的等价类有________个。4、6次对称群S中,(1235)(36)=____________。5、12的剩余类环Z12的可逆元是。本题得分三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“
4、√”,错误的打“×”)1、设是群,≠H,若对任意a,b∈H可推出ab∈H,则H≤G..()2、群中的元,,则。()3、商环是一个域。()4、设f是群G到群的同态映射,若,则。()5、任意群都同构于一个变换群。()本题得分四、计算题(本题共2小题,每小题10分,共20分)(要求写出主要计算步骤及结果)1、找出的全部理想,并指出哪些是极大理想。对极大理想,写出的全部元。2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。本题得分五、证明题(本题共4小题,每小题10分,共40分)1、设f是群G到群的满同态,N是G的正规子群,证明:
5、。2、设NG,[G:N]=2008,证明:对,恒有。3、设R为交换环,若R的理想P≠R,则R/P是整环当且仅当P是素理想。4、设R[x]是实数域R上的一元多项式环,取,证明:,C为复数域。《近世代数》测试题(一)一、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有()构成群。(A)aob=a+b-2(B)aob=a b(C)aob=2 a+3 b(“ ”为数的乘法)2、设H≤G,a,b∈G,则H a=H b的充要条件是().(A)ab∈H(B)ab-
6、1∈H(C)a-1b∈H3、在整数环Z中,包含(15)的极大理想是()。(A)(3)(B)(5)(C)(3)或(5)4、若Q是有理数域,则(Q():Q)是()(A)6(B)3(C)25、下面不成立的命题是()(A)域是整环(B)除环是域(C)整数环是整环二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)(请将正确答案填入空格内)1、环Z(i)={a+bi
7、a,bZ}的单位是________________。2、若a是群G中的一个8阶元,则a的阶为________。3、设M100(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M10
8、0(F)中规定等价关系~下:A~B秩(A)=秩(B),则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。4、6次对称群S中,(1245)(46)=____________。5、12的剩余类环Z12的零因子是。三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”)1、若HN,HG,那么NHG。()2、设I是一主理想环,则I是一欧氏环。()3、商环是一个域。()4、设f是群G到群的同态映射,HG,则f(H)。()5、素数阶的群G一定是循环群。()四、计算题(本题共2小题,每小题
9、10分,共20分)(要求写出主要计算步骤及结果)1、在10次对称群S10中,=.将表成一些不相交轮换之积,并求及。2、在整数环Z中,试求出所有包含30的极大理想。五、证明题(本题共4小题,每小题10分,共40分)1、设f是环R到环的满同态,A为R的理想,证明:。2、设NG,[G:N]=2009,证明:对,恒有。3、设R为交换环,则R的每个极大理想都是素理想。4、设G与是两个群,,K=Kerf,,令H={x
10、x∈G ,f(x)∈},证明:且。