二次函数中的分类讨论思想

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1、二次函数中的分类讨论思想一、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定例1.（2008年陕西卷）22．本小题满分14分）设函数其中实数．（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．2.轴定区间动例2.（全国卷）设a为实数

2、，函数，求f(x)的最小值。3.轴动区间定评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。例3．求函数在上的最大值。4.轴变区间变例4.已知，求的最小值。（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例5.已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。例6.已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。练习：1、（2008江西卷21）．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．2、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。3、（20

3、08山东卷21．）（本小题满分12分）设函数，已知和为的极值点．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）讨论的单调性；（Ⅲ）设，试比较与的大小．二次函数中的分类讨论思想例题答案：例1.解：（Ⅰ），又，当时，；当时，，在和内是增函数，在内是减函数．（Ⅱ）由题意知，即恰有一根（含重根）．≤，即≤≤，又，．当时，才存在最小值，．，．的值域为．（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．由题意得，解得≥；当时，在和内是增函数，在内是增函数．由题意得，解得≤；综上可知，实数的取值范围为．例2.（1）当时，①若，则;②若，则（2）当时，①若，则;；②若，则综上

4、所述，当时，；当时，；当时，。例3．解析：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3）时；由图可知；即例4.解析：将代入u中，得①，即时，②，即时，所以例5.解析：（1）若，不合题意。（2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或例6.解析1：讨论对称轴中1与的位置关系。①若，则解得②若，则，无解③若，则，无解④若，则，无解综上，解析2：由，知，则，f(x)在上递增。所以解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类

5、讨论，解题过程简洁、明了。练习答案：1、解：（1）因为令得由时，在根的左右的符号如下表所示极小值极大值极小值所以的递增区间为的递减区间为（2）由（1）得到，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，即或.2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴为，且故不合题意；（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；（3）

6、若，得，经检验，符合题意。综上，或评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、21．解：（Ⅰ）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，．（Ⅱ）因为，，所以，令，解得，，．因为当时，；当时，．所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，令，则．令，得，因为时，，所以在上单调递减．故时，；因为时，，所以在上单调递增．故时，．所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有．