控制测量中三角锁推算元素的精度估算

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1、§2.3三角锁推算元素的精度估算在1.1.2小节中已经提到，控制测量工作的第一阶段就是控制网的设计阶段。论述控制网的精度是否能满足需要是技术设计报告的主要内容之一。虽然对于评定控制网的优劣、费用的高低也是一项重要的指标，但是，通常首先考虑的是精度，只有在精度指标满足要求的情况下，才考虑选择费用较低廉的布设方案。本节着重介绍估算三角锁边长精度的方法。近20年来，随着电子计算机的广泛应用，以近代平差理论为基础的控制网优化设计理论获得了迅速地发展。例如，仅在表达控制网质量的指标方面，无论在广度和深度上，均非过去所能比。2.3.1精度估算的目的

2、和方法精度估算的目的是推求控制网中边长、方位角或点位坐标等的中误差，它们都是观测量平差值的函数，统称为推算元素。估算的方法有两种。1.公式估算法此法是针对某一类网形导出计算某种推算元素（例如最弱边长中误差）的普遍公式。由于这种推算过程通常相当复杂，需经过许多简化才能得出有价值的实用公式，所以得出的结果都是近似的。而对另外一些推算元素，则难以得出有实用意义的公式。公式估算法的好处是，不仅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表达出各主要因素对最后精度的影响，从而为网的设计提供有用的参考。推导估算公式的方法以最小二乘法中条件分组平差的精度计算

3、公式为依据，现列出公式如下。设控制网满足下列两组条件方程式（Ⅰ）（Ⅱ）推算元素是观测元素平差值的函数，其一般形式为式中，为观测值，为其权，为其相应的改正数。实际上的数值很小，可将上式按台劳级数展开，并舍去二次以上各项，得到其线性式（2-1）式中12，，…，根据两组平差的步骤，首先按第一组条件式进行平差，求得第一次改正后的观测值，然后改化第二组条件方程式。设改化后的第二组条件方程式为则的权倒数为（2-2）如果平差不是按克吕格分组平差法进行的，即全部条件都是第一组，没有第二组条件，则在计算权倒数时应将上式的后两项去掉。的中误差为（2-3）式

4、中，为观测值单位权中误差。2.程序估算法此法根据控制网略图，利用已有程序在计算机上进行计算。在计算过程中，使程序仅针对所需的推算元素计算精度并输出供使用。通常这些程序所用的平差方法都是间接平差法。设待求推算元素的中误差、权（或权系数）分别为、，后者与网形和边角观测值权的比例有关（对边角网而言），不具有随机性。至于单位权中误差，对验后网平差来说，是由观测值改正数求出的单位权标准差的估值，具有随机性。但对于设计的控制网来说，用于网的精度估算，可取有关规范规定的观测中误差或经验值。这时需要计算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否则，应

5、加适当修改，以使其自动跳过用观测值改正数计算的程序段，而直接由用户将指定值赋给。如此计算出的即为所需结果。在这种情况下，运行程序开始时应输入由网图量取的方向和边长作为观测值，各观测值的精度也应按设计值给出。输入方式按程序规定进行。图2-82.3.2三角锁推算边长的精度估算121.单三角形中推算边长的中误差图2-8中，设为三角形的起算边，为推算边，、、为角度观测值，于是由推算的函数式为单三角形中有下列图形条件按角度平差时，条件方程式的系数为，，对角度、、的偏导数（各角以弧度为单位）如下，设角、、为等精度观测，中误差为，代入（2-2）式（去

6、掉后两项）得于是将上式的结果代入（2-3）式，并注意上式在求导数时角度是以弧度为单位的，因而相应的测角中误差也应化成以弧度为单位，即为，于是可得写成相对中误差的形式为（2-4）过去经常使用边长对数的中误差，为此可利用微分式12式中，=0.43429为常用对数的模，将上式换成中误差的形式有（2-5）式中的是以对数第6位为单位的。于是（2-5）式又可改写为（2-6）将上式右端的乘以根号内的和可得（2-7）式中（2-8）、的含义可以这样理解，因为（以秒为单位）当=1"时左端为正弦对数每秒的增量，在对数表上即为相应每1"的正弦对数表列值之差，简

7、称为正弦对数每秒表差。若以对数第6位为单位，则上式可写为由此可见，等于角的正弦对数每秒表差（以对数第6位为单位）。若令（2-9）则（2-7）式可写为（2-10）12表2-5（以对数第六位为单位）12如果已知的不是测角中误差，而是方向中误差（有关方向和方向观测的概念见第三章），则利用关系代入（2-10）式可得或（2-11）由（2-9）和（2-8）式可知与三角形的内角有关，亦即与三角形的形状有关。通常将称为三角形的图形权倒数，也就是以方向的权为单位权，三角形推算边（一般是指精度最差的边，即最弱边）边长对数的权倒数称为三角形的图形权倒数。关于

8、图形权倒数的这个定义不仅适用于三角形，也适用于下面讲述的大地四边形等其他图形。为了便于计算图形权倒数，已将列成数表，以角度为引数查取（见表2-5）。2.三角形的最有利形状以上导出了三角形的图形权倒数公式，并