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1、实验二MATLAB数值计算：二阶电路的时域分析一、实验目的在物理学和工程技术上，很多问题都可以用一个或一组常微分方程來描述，因此要解决相应的实际问题往往需要首先求解对应的微分方程（组）。在大多数情况下这些微分方程（组）通常是非线性的或者是超越方程（比如范德堡方程,波导本征位方程等），很难解析地求解（精确解），因此往往需要使用计算机数ff（求解（近似解）。MATLAB作为一种强大的科学计算语言，其在数伉计算和数据的可视化方而具有无以伦比的优势。在解决常微分方程（组）问题上,MATLAB就提供了多种可适用于不同场合（如刚性和非刚性问题）下的求解器（Sol
2、ver）,例如ode45,odel5s,ode23,ode23s等等。本次实验将以二阶线性电路-KLC电路和二阶非线性电路-范德堡电路的时域计算为例，了解和学习使用MATLAB作为计算工具来解算复杂的微分方程，以期达到如下儿个目的：1.熟练使用dsolve函数解析求解常微分方程；2.熟练运用ode45求解器数值求解常微分方程；3.了解状态方程的概念，能使用MATLAB对二阶电路进行计算和分析；二、实验预备知识1.微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如！fi未知函数是一元函数，称为常微分方程
3、（Ordinarydifferentialequations，简称OdeS）。A2阶常微分方程的一般形式（隐式）为：其中z为自变量。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分A程，否则就是非线性微分方程，例如方程--二0就是非线性的。2.常微分方程的解及MATLAB指令一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，己知一个〃阶常微分方程（显式）:厂,=/（，，/，/，."，y）（2）若令凡=>’，y2=，可将上式化为n个一阶常微分方程组••J,=ZA)W2,…人(3)式称为状态方程，yby2,...,>n(即)，，/，)，〃，•••，)称为状态变
4、fi,其中h(即〉，)就是常微分方程(2)式的解。(3)式屮右边的函数./!、/2、…、人代表各个状态变量的一阶导数的函数表达式，对于具体的方程它们有具体的形式，例如下列二阶非线性微分方程：r-//(i-y2)，+)’=0若令％=J，h=/，可将其改写成2个一阶微分方程组(状态方程)的形式：{y2'=^-y^)y2-yi因此Z=乂；/2=A(i-y?)y2一％。•解析解只有少部分的线性常微分方程可以解析地求解(即可以算出精确的解表达式)，例如一阶常系数常微分方程6^/汾=>，+丨可以通过直接积分解出，而多数微分方程尤其是非线性方程则很难得到解析解。有
5、解析解的方程虽然可以手算解出，但是MATLAB也提供了dslove指令来求方程的解析解，其使用格式：8=<^0^(‘方程1’，‘方程2’，”7初始条件1’,’初始条件2’…，’自变量’)方程用字符串表示，自变量缺省值为t。1阶导数用D表示，2阶导数用D2表示，以此类推。S用于返回方程解析解的表达式。如果是求解方程组，则S为一个结构体数组，它的每个域存放方程组每一个解的表达式。例1:求下列微分方程的解析解/’=sin(2x)-y，y(0)=0,)，’(0)=1>>s=dsolve(zD2y=sin(2*x)-yf,zy(0)=0z,zDy(0)=1z,
6、zxz);>>simplify(s)%以最简形式显示sans=-l/3*sin(x)*(-5+2*cos(x))%方程的解(符号表达式)•数值解对于没有解析解的方程主要依靠计算机进行数值求解(得到的是近似解)，例如方程-/XI-/v’+y=o就须通过计算机数值求解(结果是一系列解的数值而非表达式)。考虑H阶微分方程(2)式的数值求解，它等价于一阶常微分方程组(3)式。现将(3)式写成矩阵形式：r’(z)=F(r，y(z))(4)其中Y(t)=參••—鬌•嚳V('卜D<•/(5)为/z个分量的列M量(Columnvector)，也称状态向量(6)«个
7、分量的列向量，其每个元素分别为(3)式右边的函数表达式我们知道，微分方程要有唯一的确定解，必须给定初值条件。因此方程(4)式要有确定的解必须给定初值条件(&为初始时刻)：r>仏)、JVo)••參=••♦(7)Matlab提供了ode45指令(ode是常微分方程的英文缩写)来求解方程(4)的数值解(近似解)。基本使用格式：[tout，Yout]=ode45(odefun，tspan，YO,options)其参数说明如K:①odefim—般是用M文件编写的函数，odefim代表函数名，由用户自己定义。函数返冋值为⑷式右边的(yi，/2，...，/i)T。
8、故odefun函数的返冋值应是列向量，其最简单的编写格式为：functionF=odefun(t,Y)作用是
