数学物理方法第07章习题new

《数学物理方法第07章习题new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章习题答案7.1-1将Helmholtz方程在柱坐标系中分离变量。解：设代入上面的方程有:两边同时除以，并移项得：上式左边与无关，右边与无关，令左右两边都等于,即：右边为：①而左边有：两边同时除以，并移项得:②和：③Helmholtz方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。7.1-2将三维热传导方程在球坐标系中分离变量。第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc解:在球坐标系中的表示式为:设，代入上述方程有:方程两边同时除以并移项有:左右两边互不相关但相等，只能为常数，设为。有:①②对方程①，设，代入①有:③④对方程②，设

2、，代入②有:移项并乘以有：上式可分解为：⑤第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc变形为：⑥这样，原方程分解为③④⑤⑥四个常微分方程。7.2-1求Hermite方程在领域内的解解：因为，所以为方程的常点。故在领域内方程有形如的解。将的展开式代人Hermite方程有：整理得：所以有：得到：收敛半径前几项：第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc即：其中：7.2-2判断是下列方程的常点还是奇点，根据这一判断，写出解应有的形式，并用幂级数解法，求其不含对数项的解。（1）拉盖尔（Laguer

3、re）方程解：将方程化为标准形式：，则，，所以，为，的一阶极点，则为方程的正则奇点。原方程有如下形式的解：则：将代入原方程有：整理并消除后可得：所以：而判定方程为的最低次幂项（项）的系数所确定的方程，为：第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc于是，系数之间的递推关系为：收敛半径所以：，………………………………………………故一个特解为：7.2-2（2）退化超几何方程。（不等于整数或零）解：将方程化为标准形式：，则，，为，的一阶极点，所以为原方程的正则奇点。设则：将代入原方程有：整理并消除后可得：而判定方程为的最低次幂项（项）的系数

4、所确定的方程，为第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc而系数之间的递推关系为：则有：收敛半径因为不等于整数或零，所以不为整数或零，则方程有两个线性无关的特解，下面分别求出时：，      时，所以可得到该方程的两个线性无关的特解：（令）另解的其他形式（用函数表示）第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc7.2-2（3）虚余量贝塞尔方程解：将Bessel方程化为标准形式则为的一阶级点，为的二阶级点。故为原方程的正则奇点，有如下形式的特解设：，将代入原方程有：整理并消除，化简有：判定方

5、程由的系数确定：间的递推公式为或收敛半径的系数为所以：而第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc时所以：若令，则有：称为虚宗量（或变形）的贝塞尔函数，且。同理可得当时，有7.2-2（4），求邻域内的解。解：将方程化为标准形式，，所以，，而为的解析点，所以为方程的常点。设方程在邻域内的解为：则：将代入原方程有：第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc整理得：所以有：得到：收敛半径前几项：为任意值，所以：，所以：或者用表示，其中7.2-3求勒让德（Legendre）方程在的邻域上的解。解

6、：将方程化为标准形式，，所以，，而为的一阶极点，所以为方程的正则奇点。设方程在邻域内的解为：第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc而将在邻域内的展开式代入原方程有：整理，化简有：判定方程由的系数来决定，即：所以递推关系为：当时，得到：或者：收敛半径为：所以：第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc令，则有所以：7.2-4在的邻域上求解方程，其中为任意常数。解：易知为方程的正则奇点，设其正则特解形式为：所以：将代入方程有：整理并消除后可得：判定方程为：，得到且系数间的递推关系为：所以

7、：收敛半径为：，所以得到：①时，第13页共13页dfc7817a67384acabc26dcb8e63b48ed.doc②，7.3-2求本征函数系的归一化因子。解：所以：，归一化因子为即有：7.3-4设有一均匀细杆，侧面是绝热的，两端点的坐标为和，在处温度为，而在另一端处，杆的热量自由散发到周围是的介质中去，即：，已知初始温度分布为，求杆上温度变化的规律。解：热传导方程：初始条件：边界条件：将方程分离变量，设，代入热传导方程和边界条件有：第13页共13页dfc7817a67384acabc2