第八节 线性空间的同构

《第八节 线性空间的同构》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等代数§6.8线性空间的同构第八节线性空间的同构第六章线性空间LinearSpace§6.8线性空间的同构设1,2,…,n是线性空间V的一个基，在这个基下，V中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成Pn的元素.因此，向量与它的坐标之间的对应实质上就是V到Pn的一个映射.这个映射既是单射又是满射，换句话说，坐标给出了线性空间V与Pn的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.一、引入§6.8线性空间的同构设=a11+a22+…+ann,=b11+b22+…+bnn.即

2、向量,的坐标分别是(a1,a2,...,an),(b1,b2,…,bn),那么+=(a1+b1)1+(a2+b2)2+…+(an+bn)n,k=ka11+ka22+…+kann.于是向量+,k的坐标分别是§6.8线性空间的同构(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)=(a1,a2,...,an)+(b1,b2,…,bn),(ka1,ka2,...,kan)=k(a1,a2,...,an).以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间

3、V的讨论也就可以归结为Pn的讨论.§6.8线性空间的同构定义1数域P上两个线性空间V与V称为同构的，如果由V到V有一个双射,具有以下性质：1)(+)=()+()；2)(k)=k(),其中,是V中任意向量，k是P中任意数.这样的映射称为同构映射.二、同构的概念§6.8线性空间的同构前面的讨论说明在n维线性空间V中取定一个基后，向量与它的坐标之间的对应就是V到Pn的一个同构映射.因而，数域P上任何一个n维线性空间都与Pn同构.§6.8线性空间的同构1.(0)=0,(-

4、)=-().2.(k11+k22+…+krr)=k1(1)+k2(2)+…+kr(r).证明三、同构映射的性质(0)(-)=(0)=0,=0()=-1()=(-1)=-().证明(k11+k22+…+krr)=(k11)+(k22)+…+(krr)=k1(1)+k2(2)+…+kr(r).证毕证毕§6.8线性空间的同构3.V中向量组1,2,…,r线性相关的充分必要条件是，它们的像(1),(2),…,(r)

5、线性相关.证明必要性设1,2,…,r线性相关，即有不全为零的数k1,k2,…,kr使k11+k22+…+krr=0.由性质1，得(k11+k22+…+krr)=(0)=0,再由性质2，得k1(1)+k2(2)+…+kr(r)=0.§6.8线性空间的同构充分性设(1),(2),…,(r)线性相关，即有不全为零的数k1,k2,…,kr使k1(1)+k2(2)+…+kr(r)=0.于是有(k11+k22+…+krr)=0,由于是双射，只有(

6、0)=0，所以k11+k22+…+krr=0,即1,2,…,r线性相关.证毕由此即得(1),(2),…,(r)线性相关.§6.8线性空间的同构注◆同构的线性空间有相同的维数.4.如果V1是V的一个线性子空间，那么，V1在下的像集合(V1)={()

7、V1}是(V)的子空间，并且V1与(V1)维数相同.5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.§6.8线性空间的同构证明设是线性空间V到V的同构映射，则逆映射-1是V到V的一个双射.下面证明-1也

8、是同构映射，即-1满足定义1中的条件1)与2).令，是V中任意两个向量，于是-1(+)=-1(-1()+-1())=-1((-1()+-1()))=-1(-1()+-1())=-1()+-1().§6.8线性空间的同构现设和分别是线性空间V到V和V到V的同构映射，下面证明乘积是V到V的一个同构映射.-1(k)=-1(-1(k))=-1(k-1())=-1((k-1(

9、)))=-1(k-1())=k-1().故-1满足定义1中的条件1)与2)，因而是同构映射.§6.8线性空间的同构(+)=(()+())=()+(),(k)=(k())=k().故满足定义1中的条件1)与2)，因而是同构映射.证毕注◆同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.显然，既是单射又是满射.又有§6.8线性空间的同构定理数域P上两个有限维线性