研究线性方程组迭代收敛速度

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1、研宄解线性方程组迭代收敛速度一.实验目的科学研究与生产实践屮许多问题都可归结为线性方程组的求解，高效求解线性方程组成为了许多科学与工程计算的核心.迭代法就是用某种极限过程去逼近线性方程组精确解的方法，该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序计算简单，原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重耍方法。常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss—seidol迭代法、逐次超松驰法（SOR法）等。二.实验摘要由迭代法平均收敛速度与渐进收敛速度的关系引入近似估计法，即通过对迭代T•均收敛速度取对数，然后利用Mathematica软件对其进行拟合，给出拟合函

2、数，最终得到丫Jacobi迭代法、Gauss—seidel法的平均收敛速度收敛到渐进收敛速度的近似收敛阶，以及逐次超松驰法（SOR法）的渐进收敛速度，且该法适用于其他迭代法收敛速度的估计。三.迭代法原理1.Jacobi迭代法（J法）设方程组Ax=/?，其中，a=（久）■er，A为可逆矩阵，可分裂为A=L+£>+（/，其中,a320n2"，/卜i120In2/2“na22D=•••參_ann_从而由Ar二得到，x=-D~L+")x+D_'b=D_l(D-A)x+D_lb=(/-£>_,A)x4-D_'b令B,=f-，fj=D-'b，由此可构造出迭代公式：x('+,)

3、=B,x⑻+令初始向量x(()>=(0,0，...,0),即可得到迭代序列，从而逼近方程组的解这种方法称为Jacobi迭代法，其屮久称为Jacobi迭代矩阵。2.Gauss-Seidel迭代法(GS法)与Jacobi迭代法类似，将方程组Ax=/?中的系数矩阵A分裂为A=L+D+U,，其中D，L，"与前而相同。与Jacobi迭代法所不同的是，Gauss-Seidel迭代法将Jacobi迭代公式中的Dxa+1)=-Lx⑻-Or⑷+/?改为Dx(k+[)=-Lx[k+i)-Ux⑻+b从而Ax=/?可写成矩阵形式(L+£>)xu+,)=一Ux(々)+/?,若设(L+Z)厂1存在

4、，贝ijx(A+,)=—(L+D)-1Uxw+(£+Dr1b，其中，B(;=-(L+D)-lU，f=(L+D)-lb，于是Gauss—Seidel迭代公式的矩阵形式为X(W)=BGX⑻+f。其中，及(7称为式(1)的Gauss—Seidel迭代法的迭代矩阵。注：由于Gauss-Seidel迭代充分利用了迭代过程的新信息，一般来说，它的迭代效果要比Jacobi迭代好。3.逐次超松弛方法(S0R法)根据Gauss-Seidel迭代法的迭代原理xu+"=-(7xu)+/?),我们将_(<'+”_u+i)其修改为x“+1)=(l->v)x(〃+wx，即对和X加入一个权因子，在这

5、里我们称w为迭代公式的松弛系数。_(灸+1)令X=D--Lx{k+X}-Ux⑹+/?)(Gauss—Seidel迭代法)，则_(々+”xu+,)=(1-vv)xu)+WX=(1_w)x(k)+wD~](-Lxa+i)-"%(々)+/?)从而X(々+1)=(D+wLyl[(1-w)D-wU]x(k)4-w

6、质：(i).设方程组Ar=/?，其中，A=(aij)nxnERnxn,/T，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0

7、；4)关于(iii)提到的谱半径定义为：假设为H阶可逆矩阵，。是它的H个特征值，我们称p(A)=max

8、A.

9、

10、

11、A

12、

13、uh其中，矩阵的范数如：

14、

15、/IH^maxXl^I，IIAIL二maxEl^-1，IIA

16、

17、2二A)。/=1J"J=l“下而我们就来讨论以上方法的迭代收敛速度，首先我们介绍收敛速度快慢的比较方法。一.迭代法收敛速度的比较1.这两种迭代方法收敛性与Gt^oo)是否成立有关，且收敛速度与Bk+0的速度有关。当p(B)