人教版高数必修一第3讲：函数的相关概念与映射(教师版)

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1、函数的相关概念与映射____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；2、学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；3、了解构成

2、函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.一、映射的概念：设、是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合、，以及对应关系）叫做集合到集合的映射，记作：。二、像与原像的概念：给定一个集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素的像，元素叫做元素b的原像。特别提醒：1、对于映射→来说，则应注意理解以下四点：（1）集合中每一个元素，在集合中必有唯一的象；（2）集合中不同元素，在集合中可以有相

3、同的象；（3）集合中的元素与集合中的元素的对应关系，可以是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。（4）允许集合中的元素没有象；2、集合、及对应法则是确定的，是一个系统；3、对应法则有“方向性”。即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；三、映射：一般地，设，是两个非空的集合，→是集合到集合的映射，如果在这个映射下，对于集合中的不同的元素，在集合中有不同的象，而且中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做到的一一映射。8特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点：（1）集合

4、B中的每一个元素都有原象，也就是说，集合中不允许有剩余的元素。（2）对于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，也就是说，不允许“多对一”；四、函数的概念：设、是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。特别提醒：1、函数实际上就是集合到集合的一个特殊映射，其特殊处主要在于集合,为非空的数集；其中定义域

5、，就是指原象的集合，值域，就是象的集合。2、函数符号表示“是的函数”，应理解为：（1）是自变量，它是关系所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；（2）符号仅仅是函数符号，不是表示“等于与的乘积”，也不一定是解析式，再研究函数时，除用符号外，还常用等符号来表示。3、判断两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：（1）的取值集合是否为空集；（2）根据给出的对应关系，自变量在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。五：函数的值：表示当时，函数的值

6、，这个值就由“”这一对应关系来确定；与是不同的，前者表示以为自变量的函数，后者为常数六：函数的三要素：我们通常把对应法则、定义域、值域称为函数的三要素。由函数的定义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。七：区间的概念和记号：名称定义符号数轴表示闭区间开区间｛＜＜｝左闭右开区间﹛＜﹜左开右闭区间｛＜｝无穷区间｛｝无穷区间｛＜｝无穷区间｛｝8无穷区间｛＞｝特别提醒：书写区间记

7、号时：（1）有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点；（2）两个端点之间用“，”隔开；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；以“”或“”为区间一端时，这一端必是小括号。八：分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。如函数特别提醒：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；3、分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范

8、围的并集。九：复合函数如果，那么叫做和的复合函数，其中为内函数，为外函数。类型一映射的概念例1：已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四个对应关系中，能否构成A到B的映射？说明理由．解析：(1)、(3)是A到B的映射，都符合映射的定义，即A中的每一个元素在B中都有惟一元素与之对应；(2)不是A到B的映射，因为A中的元素4在B中没有元素与之对应；(4)不是A到B的映射，因为A中的元素3在B中有两个元素与之对应．答案：(1)、(3