高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）

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1、高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）学案22　简单的三角恒等变换导学目标：1能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用2能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝________________；(2)s2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝________________________(α≠π2＋π4且α≠π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(

2、1)sinαsα＝____________________ͤsα＝sin2α2sinα；(2)降幂公式：sin2α＝________________，s2α＝________________；升幂公式：1＋sα＝________________，1－sα＝_____________；变形：1±sin2α＝sin2α＋s2α±2sinαsα＝________________________自我检测1．(2010•陕西)函数f(x)＝2sinxsx是(　　)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π

3、的偶函数．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f(x)＝s2x－2sinx的最小值和最大值分别为(　　)A．－3,1B．－2,2．－3，32D．－2，323．函数f(x)＝sinxsx的最小值是(　　)A．－1B．－1212D．14．(2011•清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA•sinB(　　)A．有最大值12，最小值0B．有最小值12，无最大值．既无最大值也无最小值D．有最大值12，无最小值探究点一　三角函数式的化简例1　求函数＝7－4sinxsx＋4s2

4、x－4s4x的最大值和最小值．变式迁移1　(2011•泰安模拟)已知函数f(x)＝4s4x－2s2x－1sinπ4＋xsinπ4－x(1)求f－11π12的值；(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究点二　三角函数式的求值例2　已知sin(π4＋2α)•sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．变式迁移2　(1)已知α是第一象限角，且sα＝13，求sinα＋π4s᠄

5、0;2α＋4π的值．(2)已知s(α＋π4)＝3，π2≤α<3π2，求s(2α＋π4)的值．探究点三　三角恒等式的证明例3　(2011•苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝，记＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3　求证：sin2xsinx＋sx－1sinx－sx＋1＝1＋

6、sxsinx转化与化归思想的应用例　(12分)(2010•江西)已知函数f(x)＝1＋1tanxsin2x＋sinx＋π4sinx－π4(1)当＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝3，求的值．【答题模板】解　(1)当＝0时，f(x)＝1＋sxsinxsin2x＝sin2x＋sinxsx＝1－s2x＋sin2x2＝122sin2x－π4＋1，[3分]由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，π4，[4分]所以sin2x－π4∈－22，1，[分]从而得f(x)的值域为

7、0，1＋22[6分](2)f(x)＝sin2x＋sinxsx－2s2x＝1－s2x2＋12sin2x－2s2x＝12[sin2x－(1＋)s2x]＋12，[8分]由tanα＝2，得sin2α＝2sinαsαsin2α＋s2α＝2tanα1＋tan2α＝4，s2α＝s2α－sin2αs2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－3[10分]所以3＝124＋31＋＋12，[11分]解得＝－2[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二

8、倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表