必修四简单的三角恒等变换(附答案)

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1、简单的三角恒等变换[学习目标]　1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一　半角公式及其推导(1)：sin＝±；(2)：cos＝±；(3)：tan＝±(无理形式)＝＝(有理形式)．思考1　试用cosα表示sin、

2、cos、tan.答案　∵cosα＝cos2－sin2＝1－2sin2，∴2sin2＝1－cosα，∴sin2＝，∴sin＝±；∵cosα＝2cos2－1，∴cos2＝，∴cos＝±；∵tan2＝＝＝，∴tan＝±.思考2　证明tan＝＝.证明　∵＝＝tan，∴tan＝，同理可证tan＝.∴tan＝＝.知识点二　辅助角公式asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)使asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)成立时，cosφ＝，sinφ＝，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．思考1　将

3、下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A>0，ω>0，

4、φ

5、<.(1)sinx＋cosx＝sin；(2)sinx－cosx＝sin；(3)sinx＋cosx＝2sin；(4)sinx－cosx＝2sin；(5)sinx＋cosx＝2sin；(6)sinx－cosx＝2sin.思考2　请写出把asinx＋bcosx化成Asin(ωx＋φ)形式的过程．答案　asinx＋bcosx＝＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝，cosφ＝)．题型一　半角公式的应用例1　已知cosα＝，α为第四象限角，求sin、co

6、s、tan.解　sin＝±＝±＝±，cos＝±＝±＝±，tan＝±＝±＝±.∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin＝，cos＝－，tan＝－；当为第四象限角时，sin＝－，cos＝，tan＝－.跟踪训练1　已知sinθ＝，且<θ<3π，求cos和tan.解　∵sinθ＝，<θ<3π，∴cosθ＝－＝－.由cosθ＝2cos2－1得cos2＝＝.∵<<π.∴cos＝－＝－.tan＝＝＝＝2.题型二　三角恒等式的证明例2　(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2.(2)求证：＝.证明　(1)左边＝1＋2cos2θ－cos

7、2θ＝1＋2×－cos2θ＝2＝右边．所以原等式成立．(2)原式＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立．跟踪训练2　证明：··＝tan.证明　左边＝··＝·＝·＝＝＝tan＝右边．所以原等式成立．题型三　与三角函数性质有关的综合问题例3　已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)，g(x)＝sin2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．解　(1)f(x)＝(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，∴f(x)的最小

8、正周期T＝＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos(2x＋)，当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为{x

9、x＝kπ－，k∈Z}．跟踪训练3　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？解　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝Rsin(α＋)＋R.∵0<α<，∴<α＋<.∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，即当

10、α＝时，△OAB的周长最大．构建三角函数模型，解决实际问题例4　如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．分析　解答本题可设∠PAB＝θ并用θ表示PR、PQ.根据S矩形PQCR＝PQ·PR列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．解　如图连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90s

11、inθ.所以PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100