代数-考前辅导课件

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1、第一章行列式1、行列式的定义二阶行列式的计算三阶行列式的计算2、n阶行列式逆序数的定义与计算排列的逆序：在一个n级排列中，如果有某个较大的数排在较小的数的前面，就称与构成了一个逆序。奇排列，偶排列n阶行列式的定义结论：对角形行列式的值，等于主对角线上各元素的乘积。结论：下三角形行列式的值也等于主对角线上各元素的乘积。结论：上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。3、行列式的性质性质1行列式转置后，其值不变。性质2对换行列式的两行（列）的位置后，行列式变号。推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则行列式等于零。性质3将行列式的

2、某一行（列）的每个元素都乘以同一数k，等于用数k乘这个行列式。推论：如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于零。性质4如果行列式D中某一行（列）的每个元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式D1与D2之和。其中D1的该行（列）元素为两个数中的第一个数，其余各行（列）的元素与D相同；D2的该行（列）元素为两个数中的第二个数，其余各行（列）的元素也与D相同。性质5将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k之后,加到另一行(列)对应位置的元素上去,行列式的值不变.4、行列式按行（列）展开余子式和代数余子式的定义，计算定理1.3n

3、阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用这个法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。例计算行列式解5、克莱姆法则定理1.5(克莱姆法则)如果n元线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有唯一解其中是将系数行列式D中的第j列元素换成常数项后所构成的行列式.注意:用定理1.5求线性方程组的解时,必须满足条件D≠0.即只有当D≠0时才能用克莱姆法则求方程的解.定理1.6齐次线性方程组仅有零解的必要充分条件是它的系数行列式D≠0。定理1.7齐次线性方程组存在非零解的必要充

4、分条件是它的系数行列式D=0。例判定齐次线性方程组仅有零解。解因为齐次线性方程组的系数行列式故由定理1.6知，所给齐次线性方程组仅有零解。第2章矩阵1、矩阵的概念定义，表示线性方程组，矩阵相等，方阵2、矩阵的运算相加，数乘，矩阵相乘，矩阵的转置3、几种特殊的方阵单位方阵，数量方阵，对角方阵，三角方阵4、逆方阵定义：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E则称B是A的逆运算（简称A的逆），记为，并称A是可逆的。非奇异方阵：如果n阶方阵A的行列式不等于零，即有则称A为非奇异方阵，或称A为非奇异的。推论：如果对于n阶方阵A，存在同

5、阶方阵B，使得AB=E（或BA=E），则B就是A的逆。例设A为三阶方阵，且，则5、矩阵的初等变换定义：对矩阵施以下列任一种变换，均称为对矩阵作初等变换：（1）互换矩阵A的第i、第j两行（列），称为对矩阵A施以第一种初等行（列）变换；（2）用一个非零的数k乘矩阵A的第i行（列），称为对A施以第二种初等行（列）变换；（3）把矩阵A的第j行（i列）的l倍加到第i行（j列）上，称为对A施以第三种初等行（列）变换。定理2.3对矩阵以若干次初等变换(包括行变换和列变换),总可以将A化为标准形矩阵D,其中即它的左上角是个r阶单位方阵,其余的元素都是零(

6、r最少可以是零,最多可以是n与m中的较小者).推论：如果A为n阶可逆方阵，则A可化成n阶单位方阵。用初等变换求方法：第一步：将A,E这两个n阶方阵凑在一起，作成一个n×2n矩阵;第二步：对作初等变换，目的是将A变成单位方阵E，右边就变成了。解矩阵方程AX=B,其中A是n阶可逆方阵，X是n×m矩阵，B是n×m矩阵，此时有.用初等变换求的方法：第一步：将A,B两个矩阵合并在一起，作成一个n×（n+m）矩阵;第二步：对初等行变换，目的是将A变成单位方阵E；当A变成E时,右边的B就变成了。例已知三阶方阵（1）判断三阶方阵A是否可逆？（2）若三阶方

7、阵A可逆，则利用矩阵变换法求其逆矩阵。解（1）因为所以方阵A可逆。（2）因为所以第3章n维向量1、向量的概念定义：n个有顺序的数所组成的数组称为一个n维向量，记为其中叫做向量的第1个，第2个，…，第n个分量（或坐标）。向量相等，零向量，负向量2、向量的运算向量的加法，数乘3、向量的线性关系定义1：设都是n维向量。如果存在一组数，使得关系式成立，则称向量是向量组的线性组合，并称向量可由向量组线性表示（或线性表出）。定义2：对于给定的n维向量组，如果存在一组不全为零的数，使得关系式成立，则称向量组线性相关。如果仅当时，关系式（3.5）式才成立

8、，则称向量组线性无关。例设n维向量线性无关，证明线性无关。证设有一组数，使得关系式成立，即有成立，由已知线性无关，所以仅当（1）式中的系数为零时才能使（1）式成立，即仅当时，关系式（1）才能成