关于二次函数实根分布问题的讨论

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1、关于二次函数实根分布问题的讨论来章润重庆市巴蜀中学，重庆400013摘要：本文讨论了二次函数的实根分布问题。首先，零点存在性定理是解决实根分布问题的首选；其次，二次函数的开口方向、根的判别式、对称轴的位置、区间端点函数值的正负、两根之和与两根之积的正负这五个约束条件决定二次函数的实根分布；然后，举例讨论了复合型二次函数的实根分布问题；最后文章举例讨论了其他类型二次函数的实根分布问题。关键词：二次函数，实根分布，复合型二次函数二次函数函数的实根分布问题指的是已知系数含有参数的二次函数或者可化为二次函数的实根分布情况，通过讨论其系数研究参数的取值范围的问题。它是中学数学中的一个重点也是一个难

2、点，在这篇文章中，我们就一起来讨论二次函数实根分布问题。为了解决这个问题，我们必须通过分类讨论，从具体问题中给出这个充分条件，然后对此加以证明，并举实例验证之。1.零点存在性定理1.1零点存在性定理[1]：一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间[，b]内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．1.2零点存在性定理的证明：我们采用高中的“二分法”来证明这个命题，由于函数在区间[，b]上有，则在区间上有。取区间的中点，若，则为所求；若，取，则函数在区间上有，否则取，则函数在区间上有……第次时函数在区间上有，将此过程无限

3、循环下去，总可以找到存在一个，使得，这个也就是的根（当然严格的证明需要利用区间套定理[2]，这里就不再赘述）。1.3几点说明：在零点存在性定理中的闭区间也可变为开区间，这是因为端点处的函数值很容易讨论和取舍；二次函数只是函数的一个特例，这个定理应用于二次函数就能解决实根分布问题，这是因为二次函数满足定理的两个条件，即在区间[，b]上的二次函数图像是连续不断的一条曲线，并且当时，在区间[，b]上二次函数有且只有（即是充要条件）一个根。1.4应用举例：实数的取值范围是_____________。解析：这是一个典型的二次函数的实根分布问题，这个问题通过恰当地使用零点存在性定理可以简化讨论过程，

4、也避免了传统方法中二次函数的开口方向、根的判别式、对称轴的位置、区间端点函数值的正负、两根之和与两根之积的正负这五个约束条件的讨论。通过分析我们知道二次函数在区间[0,1]上有，即，解得参数k的取值范围为。2.含参二次函数的实根分布问题通过讨论二次函数的开口方向、根的判别式、对称轴的位置、区间端点函数值的正负、两根之和与两根之积的正负这五个约束条件并取交集，最后确定参数的范围。设二次函数次项项系数决定（也就是说是充分条件，下同）这条抛物线的开口方向，当时，图像开口向上；当时图像开口向下。根的判别式决定二次函数的实根个数，也决定这条抛物线与轴的交点个数，当时，二次函数有两个不同的实根，图像

5、与轴有两个交点；当时，二次函数有两个相同的实根，图像与轴只有一个交点；当时，二次函数没有实数根，图像与轴无交点。二次函数的对称轴方程是一条平行于轴的直线，在这条直线的两侧二次函数具有相反的单调性。因此，开口方向和对称轴方程决定二次函数的形状，也决定二次函数的单调性。如果二次函数有两个相同的实数根或者有两个不同的实数根，设其为，则它们的两根之积与两根之和由二次函数的系数（包括二次项系数，一次项系数和常数项）决定，。　　二次函数的实根分布问题其实就是研究函数两根的取值范围问题，通过讨论二次函数的根的判别式可确定根的个数，再讨论二次函数开口方向、对称轴的位置确定二次函数图像的行状，最后讨论二次

6、函数在区间端点函数值的正负、两根之和与两根之积的正负确定根的分布情况。也就是说通过讨论二次函数的开口方向、根的判别式、对称轴的位置、区间端点函数值的正负、两根之和与两根之积的正负这五个约束条件，可以确定二次函数的实根的个数及分布区间。通过观察我们发现二次函数对称轴方程和两根之和的表达式有很大的相似之处，这提示我们去更进一步去研究二者的联系。我们都知道二次函数的两根是关于对称轴对称的，根据轴对称图形的性质，它们的和应该是对称轴的2倍，因而二次函数的对称轴方程和两根之和表达式是等价的，我们在讨论的时候只用讨论其中之一就可以了。有时候，如果二次函数的两根之和不能确定，我们就可以在定理1的基础上

7、不再考虑两根之和和对称轴，于是我们得到：通过讨论二次函数的开口方向、根的判别式、区间端点函数值的正负、两根之和与两根之积的正负这四个约束条件并取交集，求的参数的范围是该问题的一个充分条件。如果二次函数的两根无法确定正负和大小，通过讨论二次函数的开口方向、:区间端点函数值的正负这三个约束条件并取交集，求的参数的范围是该问题的一个充分条件。如果能够确定二次函数的图像经过某个特殊点，那么二次函数实根分布问题的解决将会得到极大地简化。例2、