一元二次方程培优提高例题

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1、考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式:⑶难点:如何理解“未知数的最高次数是2”:①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()ABCD变式:当k时,关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。针对练习:★1、方程的一次项系数是,常数项是。★2、若方程是关于x的一元一次方程,⑴求m的值;

2、⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题:例1、已知的值为2,则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为。说明:任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一

3、根为。说明:本题的关键点在于对“代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为。针对练习:★1、已知方程的一根是2,则k为,另一根是。★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值;⑵方程的另一个解。★3、已知m是方程的一个根,则代数式。★★4、已知是的根,则。★★5、方程的一个根为()AB1CD★★★6、若。考点三、解法⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法⑵关键点:降次类型一、直接开方法:※※对于,等形式均适用直接开方法典型例题:例1

4、、解方程:=0;例2、解关于x的方程:例3、若,则x的值为。针对练习:下列方程无解的是()A.B.C.D.类型二、因式分解法:※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,※方程形式:如,,典型例题:例1、的根为()ABCD例2、若,则4x+y的值为。变式1:。变式2:若,,则x+y的值为。例3、方程的解为()A.B.C.D.例4、解方程:例5、已知,则的值为。变式:已知,且,则的值为。针对练习:★1、下列说法中:①方程的二根为,,则②.③④⑤方程可变形为正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以与为根

5、的一元二次方程是()A.B.C.D.★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数:★★4、若实数x、y满足,则x+y的值为()A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程:的解是。类型三、配方法※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明的值恒大于0。例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。例3、已知为实数,求的值。例4、分解因式:针对练习:★★1、试用配方法说明

6、的值恒小于0。★★2、已知,则.★★★3、若,则t的最大值为,最小值为。1、关于x的方程的两根同为负数,则()A.且B.且C.且D.且2、如果方程有两个同号的实数根,则的取值范围是           (   )A、   <1      B、   0<≤1      C、   0≤<1     D、  >0类型四、公式法⑴条件:⑵公式:,典型例题:例1、选择适当方法解下列方程:⑴⑵⑶⑷⑸说明:解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法;一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式:(1);(2).

7、⑶说明:①对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根,再写成=.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值;⑵解二元二次方程组。典型例题:例1、已知,求代数式的值。例2、如果,那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。说明:在运用降次思想求代数式的值的时候,要注意两方面的问题:①能对已知式进行灵活的变形;②能利用已知条件或变形条件,逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂,最后求解。例4、用

8、两种不同的方法解方程组说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:①先消元,再降次;②先降次,再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用:①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它。典型例题:例1、若关于的方程

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