一元二次方程提高培优讲义

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1、桑博教学设计一元二次方程培优专题1、一元二次方程的一般式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①解为：②解为：③解为：④解为：（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：示例：②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：示例：备注：实际在解

2、方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。（4）公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为：34桑博教学设计①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：③当时，右端是负数．因此，方程没有实根。注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、、②求出，并判断方程解的情况。③代公式：（要注意符号）备注：一元二次方程的解题步骤：①首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个

3、非零的数，使得方程更加方便计算：如：（同除于10）这样更加方便计算。（同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）②四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么：法2：如果一元二次方程定的两个根为；那么两边同时除于，展开后可得：34桑博教学设计；法3：如果一元二次方程定的两个根为；那么②①①②得：（余下略

4、）常用变形：，，，，，等练习：【练习1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【练习2】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根满足．【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使的值为整数的实数的整数值．4、韦达定理相关知识（1）若一元二次方程有两个实数根，那么，。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。（2）如果一元二次方程的两个根是，则，。（3）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是（4）在一元二次

5、方程中，有一根为0，则；有一根为1，则；有一根为，则；若两根互为倒数,则34桑博教学设计；若两根互为相反数，则。（5）二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解。5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨的两个根为，那么：（1）的两个根为：，（原因留给大家自行思考）例1：先求出方程：的两根为：，故原方程的根为：（2）的两个根为：，例2：先解得方程：的两根为：，所以原方程的两个解为：6、应用题（1）平均增长率的问题：其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数，表示增长后的数量。（2）面积问题：注

6、意平移思想的使用7、换元法例：解：令则原方程可化为：解得：①当时，求得：②当时，求得：（原方程共有4个解）练习：考点精析考点一、概念34桑博教学设计(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）ABCD变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：★1

7、、方程的一次项系数是，常数项是。★2、若方程是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，