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1、挑战压轴题善思教育目录第一部分函数图象中点的存在性问题21.1因动点产生的相似三角形问题21.2因动点产生的等腰三角形问题111.3因动点产生的直角三角形问题191.4因动点产生的平行四边形问题311.5因动点产生的面积问题411.6因动点产生的线段和差问题51第二部分函数图象中点的存在性问题562.1由比例线段产生的函数关系问题562.2由面积产生的函数关系问题58第三部分图形运动中的计算说理问题673.1代数计算及通过代数计算进行说理问题673.2几何证明及通过几何计算进行说理问题71第四部分图形的平移翻折与旋转7585/85挑战压
2、轴题善思教育第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1满分解答（1）将点A(2,m)代入y
3、＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入，得k＝8．（2）将点B(n,2)，代入，得n＝4．所以点B的坐标为(4,2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4,2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2,4)、B(4,2)、C(0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°．图2所以S△ABC＝＝＝8．（3）由A(2,4)、D(0,2)、C(0,－2)，得AD＝，AC＝．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋
4、∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当时，CE＝AD＝．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当时，．解得CE＝．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10,8)．85/85挑战压轴题善思教育图3图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8
5、．图5例22014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1图285/85挑战压轴题善思教育满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC
6、相似，存在两种情况：①如果，那么．解得t＝1．②如果，那么．解得．图3图4（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以，即．解得．图5图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中点，E是AB的中点．所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相
7、切，求t的值．如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．如图9，当⊙H与AC相切时，直径，半径等于FC＝4．所以．解得，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．85/85挑战压轴题善思教育图7图8图9图10例32012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存
8、在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA
