微积分——极限计算

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1、一、数列极限计算1.单调有界准则(掌握例题和习题)2.夹逼定理(掌握例题和习题)3.利用函数极限计算方法第四节极限的计算二、函数极限计算(一)一般极限计算利用代入法、复合函数极限计算方法和极限四则运算法则直接进行计算。：(1)上下同除最大项(抓大头)(2)罗比达法则1.2.：(1)约零因子(基本方法)(2)分解因式(基本方法)(3)根式有理化(基本方法)(4)等价无穷小代换（重点、难点）(5)罗比达法则(重点)(6)三角变换(辅助方法)(7)变量替换(适当掌握)(二)未定式的计算3.：（1）根式有理化（2）通分4.：化为、5.（

2、1）化为（2）利用重要极限一、数列极限计算1.使用单调有界准则求极限步骤：（1）利用数学归纳法证明数列“单调”、“有界”，从而证明极限存在；（2）利用求出极限。技巧：先猜测（数列的单调性和界），再证明。例求数列的极限.解：1.存在性令(1)单调性时设时时故对一切正整数有所以数列递增.(2)有界性时时设时故对一切正整数有,所以数列有界.综上所述,数列极限存在.(2)求值设将两边求极限得即故2.使用夹逼定理求极限方法：通过放缩，得到两个“方便计算”且“极限相同”的数列。技巧：动小不动大。例求解因为且所以原式例求解因为且所以原式二、函

3、数极限计算(一)一般极限计算利用代入法、极限四则运算法则和复合函数极限计算方法直接进行计算。1.一些常见结果（1）极限不为零的因子可以分离单独计算（2）极限存在的和式可以拆分单独计算2.四则运算法则的灵活运用——分离常量：上下同除最大项(抓大头)1.(二)未定式的计算例1求解原式例2求解原式或原式例3求解原式例4例5例6例7例8例求解原式2.：(1)约零因子(基本方法)例1求解原式(2)分解因式(基本方法)例2求解原式例1求解原式(3)根式有理化(基本方法)例2求原式(3)等价无穷小代换(重点、难点)若，在x的某变化过程下有〈Ⅰ

4、〉常见的等价无穷小则：〈Ⅱ〉代换原理1.寻找等价因子。2.判断极限是否为零。3.代换为极限为零的。〈Ⅲ〉代换步骤例1例2例2例3例1注1：自变量的变化过程不影响代换。〈Ⅳ〉注意事项例2例3注2：不为零，不可代换。正解例4解错无法替换注3：只换因子不换和差。并不等价例4解例1〈Ⅳ〉解题技巧技巧1：拆分、合并例2例3技巧2：提取因子（5）罗比达法则〈Ⅰ〉使用方法对于型求极限问题，有例1例2注1罗比达法则可以反复使用例1例2〈Ⅱ〉注意事项注2：罗比达法则可能失效例3极限不存在例3可见，罗比达法则失效。例4求解原式继续下去，陷入循环，罗

5、必塔法则失效.正解注3：罗比达法则最后再用例5在使用罗比达法则之前，应该先使用其他求极限的方法简化极限函数式，“走投无路”时再使用“最后法宝”。过早使用罗比达法则往往会极大地增加函数式的复杂程度。(6)三角变换(辅助方法)例1例1(7)变量替换例1崩溃！例1例1求解原式3.（1）根式有理化（2）通分例2求解原式例1求解原式4.：化为、例2求解原式例1求解原式5.（1）化为例2求解原式例3求解原式（2）利用重要极限例4例5例6求解原式例6求另解原式例7求解原式