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时间:2018-10-21
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1、常用放缩方法技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:⑴添加或舍去一些项,如:;⑵将分子或分母放大(或缩小)⑶利用基本不等式,如:;⑷二项式放缩:,,(5)利用常用结论:Ⅰ.的放缩:Ⅱ.的放缩(1):(程度大)Ⅲ.的放缩(2):(程度小)Ⅳ.的放缩(3):(程度更小)Ⅴ.分式放缩还可利用真(假)分数的性质:和记忆口诀“
2、小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质的放缩:。一.先求和再放缩例1.,前n项和为Sn,求证:例2.,前n项和为Sn,求证:6/6一.先放缩再求和(一)放缩后裂项相消例3.数列,,其前项和为,求证:(二)放缩后转化为等比数列。例4.满足:(1)用数学归纳法证明:(2),求证:三、裂项放缩例5.(1)求的值;(2)求证:.例6.(1)求证:(2)求证:(3)求证:6/6例7.求证:例8.已知,,求证:.四、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之
3、亦然.例9.姐妹不等式:和也可以表示成为和例10.证明:6/6五、均值不等式放缩例11.设求证例12.已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上的最大值为,求证:六、二项式放缩,,例13.设,求证.例14.,试证明:.6/6七、部分放缩(尾式放缩)例15.求证:例16.设求证:八、函数放缩例17.求证:.例18.求证:例19.求证:6/6九、借助数列递推关系例20.若,求证:例21.求证:十、分类放缩例22.求证:6/6
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