第五章大数定律和中心极限定理

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1、第五章大数定律和中心极限定理第二节中心极限定理第二节中心极限定理第五章大数定律和中心极限定理内容摘要：中心极限定理是概率论中最著名的结果之一,它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的方法,而且有助于解释为什么很多自然现象的统计规律服从正态分布这一值得注意的重大事实.(1)为什么正态分布在概率论中占有极其重要的地位？(3)大样本统计推断的理论基础是什么？二、预备知识(2)随机变量之和的分布是什么？一、提出问题随机事件的概率，随机变量的均值、方差.在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响.这些随机因素是相互独立的,而其中每一个个别因素所起的作用都是微小的.这种量一

2、般都服从或近似服从正态分布.三、分析问题例如,炮弹射击的落弹着点与目标的偏差,就受着许多随机因素的影响.如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等.例如，开展物理试验实验所出现的测量误差，等等.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题，解决“总影响”的概率分布问题.一般情况下,很难求出X1+X2+…+Xn分布的确切形式,但当n很大时,可以求出这个和的近似分布.当n无限增大时,这个和的极限分布是什么呢？一般情况下它服从正态分布．在什么条件下极限分布会是正态分布的呢？我们把在一定条件下,随机变量和的分布收敛

3、于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.本节只介绍三个常用的中心极限定理.四、建立理论设X1,X2,…,Xn，…,是独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=,D(Xi)=,i=1,2,…,n，的标准化变量则随机变量之和1.独立同分布中心极限定理定理1（独立同分布中心极限定理）讲评n个独立同分布的随机变量,不论原来服从什么分布,当n充分大时,其和的标准化随机变量可认为是近似地服从标准正态分布.的分布函数　　，对于任意x满足证明略.(2.1)这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.(2.2)或者变形，得到随机变量和的近似分布：(2.3)将(2.2)式左端改写成,这样,上述结果可

4、写成:设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列,E(Xi)=,D(Xi)=,i=1,2,…,n，则随机变量的算术平均,当n充分大时,近似成立定理1′（独立同分布中心极限定理）或者(2.4)(2.5)方差为的独立同分布的随机变量这就是说,均值为X1,X2,…,Xn的算术平均当n充分大时近似地服从正态分布这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.~五、方法应用例1用机器把口服液装瓶.由于机器会有误差,所以每瓶的口服液净重为随机变量,期望值为100g,标准差为10g.一箱内装200瓶,求一箱口服液净重大于20500g的概率.解设一箱口服液净重为Xg,箱中第i瓶净重为Xi

5、(i=1,2，…,200),显然诸Xi独立同分布,且E(Xi)=100,D(Xi)=102(i=1,2,…,200).=0.0002.由独立同分布中心极限定理知记则所求概率为P{X>20500}.讲评“净重大于20500g的概率”是随机变量和的概率问题,利用和标准化后用独立同分布中心极限定理求解.例２某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时,标准差为200小时.经过技术改造使平均寿命提高到2250小时,标准差不变.对其进行检验,方法如下:任意挑选若干只灯泡,如这些灯泡的平均寿命超过2200小时,就承认技改有效.欲使检验的通过率超过0.997,至少应检查多少只灯泡？故则由独

6、立同分布中心极限定理得,灯泡的寿命,解设取n只灯泡检查，以表示第只i近似地解之得故至少应检查121只灯泡才能满足要求.查表得讲评(1)“至少应检查多少只灯泡?”是求解随机变量个数的概率问题，“平均寿命超过2200小时”涉及到随机变量算术平均,用独立同分布中心极限定理求解.(2)此题从另外一个角度,可以看作“随机试验设计问题”，即如何设计试验,才可能以比较大的概率满足所设定的条件.(3)此题型是考研题型,应引起读者重视.参见例3.例3一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明:每

7、辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977(已知Φ(2)=0.977).解为独立同分布随机变量,而n箱的总重量n是所求箱数.由条件可以把X1,X2,…,Xn视以装运的第i箱的重量(单位:千克),Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和.一节定理3的结论(3)和第四章第二节定理2的结论(4)由条件知E(Xi)=50,=5,由第四章第根据独立同分布中心极限定理(2.3)式,Tn近似服从正态分布N(50n,25n).由题设条件,应满足得E(Tn)=50n,=5.解得n＜98.0199,