第五章---大数定律和中心极限定理.ppt

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1、大数定律和中心极限定理大数定律：阐明大量随机现象的平均结果具有稳定性的一系列定理中心极限定理：论证随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理一.大数定律契比雪夫不等式：假设随机变量X的数学期望，方差，则对任意证明：若X为连续型随机变量，概率密度为意义：即使不知道随机变量的分布，但只要知道其数学期望和方差，便可以估计事件的概率大小，当然这个估计是比较粗糙的。定义：设有随机变量序列若存在常数a，对任意正数，有则称随机变量序列依概率收敛于a定理1(契比雪夫大数定律）设随机变量相互独立，都存在数学期望和方差，而且方差是有界的，即存在某个常数M，使得则对任意，都有证明：因为相互独立，由契比雪夫不

2、等式，得到因为概率不可能大于1，所以定理成立。辛钦大数定律：独立同分布，期望存在记为，则对任意的伯努利大数定律：独立同分布，且都服从参数为p的0-1分布，则对任意的特别地，如果X表示n重伯努利试验中A发生的次数，，则有频率概率二.中心极限定理列维-林德伯格中心极限定理独立同分布，数学期望和方差都存在，分别记为，则对任意实数，有即棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，则对任意实数，有即例题1：已知随机变量X,Y的相关系数为根据切比雪夫不等式估计.解例题2：随机从数集{1,2,3,4,5}中有返回的取出n个数依概率收敛于,依概率收敛于.由辛钦大数定律，依概率收敛于3由辛钦大数定律，依概率收敛于11解

3、例题3：相互独立且都服从记，根据辛钦大数定律，当依概率收敛于.根据辛钦大数定律，当依概率收敛于.解条件：独立同分布，数学期望和方差都存在列维-林德伯格中心极限定理答案：C解：例题6：设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克,求：（1）100个螺丝钉的一袋的重量超过5.1千克的概率；（2）每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4%的重量超过5.1千克的概率。（1）设表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i=1,2,…,100列维-林德伯格中心极限定理可知，近似服从正态分布解(2)设500袋中重量超过5.1千克袋数为Y,则由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，Y可近似服从正态分布N

4、(11.375,11.116)