第二章初等模型

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1、第二章初等模型一、公平的席位问题问题的提出把定量的席位分配给不同的单位，并使得分配尽可能地“公正”，这就是所谓的“席位分配”问题.问题某学校有3个系，共200名学生，其中甲系有学生100名，乙系有学生60名，丙系有学生40名。现拟成立有20人组成的学生会，问应如何分配学生会名额？解3个系的学生数所占须生总额的比例为，由此不难得到名额分配方案为。若丙系有6名学生转到他系，其中甲系3人，乙系3人，此时应如何分配名额呢？一般原则是先取整数分配，小数部分按取大原则。甲系：；乙系：；丙系：。即：甲系10人，乙系6人，丙系4人。这样的分配方案是否公平呢？假设学生会成员数上升到21人，问应该如

2、何分配？甲系：;乙系：;丙系：.即：甲系11人，乙系7人，丙系3人.从中可以看出这样的分配方案并不合理.作为丙系的代表是不会接受这样的分配方案的.模型的建立假设1.席位是以整数计量的，并且为有限个，设为个;2.参加分配的单位为有限个，并且不超过席位数.设单位数为，即;3.每个单位有有限个人，席位是按各集体的人员多少来分配的.所谓公平原则指的是:每个席位在各自的集体中所代表的人员数希望是相等的.建模为体现公平性，引入指标:设有两个集体，人员数分别是，分配到的席位数为，故每个席位所代表的人员数分别为显然，若，则对两个集体而言，分配是绝⑴对公平的:若不相等，则“绝对不公平度”为但下面的

3、例子说明这样的刻画还是有缺陷的.⑵集体名人员数席位数代表数绝对不公平度A12010122B10010102C1020101022D1000101002在上面的例子中，绝对不公平度都相等:但实际问题是:间存在的不公平显然要比间存在的不公平要大.为此我们引入:当时，吃亏，称为的相对不公平度；⑶当时，吃亏，称⑷为的相对不公平度。在前例中，我们的目标是：在每一次分配时都使得相对不公平度都达到最小.解模设单位已有席位，单位有席位，并假定吃亏，即，因而有意义.现考虑下一个席位的分配:⑴席位分配给仍然是吃亏，即毫无疑问，该席位应该分配给⑵把下一个席位分配给使吃亏，即此时可算出的相对不公平度⑸⑶

4、把下一个席位分配给一定是吃亏，此时相对不公平度为⑹⑷把下一个席位给使吃亏，这是不可能的。问题的关键就是在⑵⑶情况下，通过比较相对不公平度的大小，确定下一个席位的分配方案，原则是把下一席位分配给相对不公平度大的一方。由此得到以下结论:当时，这一席位分配给;当时，这一席位分配给.若，即上式等价于⑺引入⑻则在⑵⑶的情况下，席位应分配给值大的那一方。在情况⑴，由于所以，因而把席位分配给符合上面的原则.把上面讨论的情况一般化就得到个单位个席位的分配方法：当分配一个新的席位时，首先按⑼计算各单位的，⑼再根据值最大的一方进行分配。再回到本节一开始的问题，此时首先先给各系一个席位，因而再计算由此

5、，第4个席位应该给甲系，此时再计算值:而值没有变化，因此得到第5个席位给乙系.由此得到余下的席位的分配情况（具体分配见下表）.序号15304.5(4)1984.5(5)578.0(9)21768.17(6)661.5(8)192.67(15)3884.08(7)330.75(12)96.33(21)4530.45(10)198.45(14)5353.63(11)132.3(18)6252.6(13)7198.45(16)序号8147.35(17)9117.88(19)1096.45(20)席位个数1164上面的计算结果表明:丙系最终保住了一个席位.二、双层玻璃窗的功效问题的提出在

6、北方城市的某些建筑中，玻璃窗是用双层玻璃构成的，并且两层玻璃之间还留有一定的空隙。其作用是减少热量的流失。假定玻璃窗的厚度为，今建立一个相应的数学模型来讨论这个问题，并与一个厚度为的玻璃窗进行热量流失的比较。墙墙热传导方向墙墙模型假设1.热量的传播过程中只有传导，没有对流，即假设窗户的密封性能很好，双层玻璃之间的空气是不流通的；2.室内温度和室外温度保持不变，热传导过程处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。建模由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一侧流过单位面积的热

7、量与成正比，与成反比，即⑴其中为热传导系数。记双层窗内层玻璃的外侧温度是，外层玻璃的内侧温度是，玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为⑵由此得到：即：再由⑶代入⑶式得：移项整理后得：所以：⑷其中再注意到，厚度为的单层玻璃窗的热传导过程为⑸两者之比为⑹为了得到更进一步的结果，需要传导系数的值。实验数据表明，常用玻璃的热传导系数为不流动、干燥空气的热传导系数为所以取最保守的估计，即取由⑷，⑹得⑺比值反映了双层玻璃窗在减少热量流失上的