2014年全国高中数学联赛试题及答案

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1、2014年全国高中数学联赛(B卷)一试一、填空题（每小题8分，共64分，）1.函数的值域是.2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4.已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则.5.函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.8.方程满足的正整数解（x,y,

2、z）的个数是.二、解答题（本题满分56分）9.（16分）已知函数，当时，，试求的最大值.10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.解答1.提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.112.提示：令，则原函数化为，即.由，，及知即.（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知.3.9800提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有9

3、8个整点，所以所求整点的个数为.4.提示：设的公差为的公比为，则（1），（2）（1）代入（2）得，求得.从而有对一切正整数都成立，即对一切正整数都成立.从而，求得，.5.提示：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，11所以；当时，，，所以.综上在上的最小值为.6.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7.提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设，所以，即.所以.11解法二：如图，.设与交于点则.从而平面.过在

4、平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即.又..8.336675提示：首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设两两均不相等的正整数解为.易知，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.119.解法一：由得.所以，所以.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.解法二：.设，则当时，.设，则..容易知道当时，.从而当时，，即，从而,，由知.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.10.解法一：设线段的中点为，则，

5、.线段的垂直平分线的方程是.（1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.11由（1）知直线的方程为，即.（2）（2）代入得，即.（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,..定点到线段的距离..11当且仅当，即,或时等号成立.所以，面积的最大值为.11.令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根.所以，.故数列是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的.不妨设，则，，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边

6、BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．112.（40分）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，．3.（50分）给定整数，设正实数满足，记．求证：．4.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1.用反证法．若A，B

7、，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．因为P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O），同理，所以，故⊥．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是．①由梅内劳斯（Menelaus）定理，得，②11．③由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而四点共圆.注1：“P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得，④则P，E，F，A四点共圆，故，从而E，C，F，K四点共圆，于是，⑤⑤-④，得P的幂（关

8、于⊙O）K