代数式的化简与求值

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1、代数式的化简与求值　　第三十三讲　代数式的化简与求值　　1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．　　　2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：　　　(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；　　　(2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简；　　　　(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；　　(4)有时对含有根式的等式两边同

2、时实施平方，也不失为一种有效的方法．　　例题求解　　【例1】已知，求的值．　　思路点拨由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．　　注本题使用了整体代换的作法．　　【例2】已知：x+y+x=3a(a≠0)，求：的值．　　思路点拨由得：　　解设，，，∴　　∴原式=（可将两边平方的得到）　　【例3】已知，求的值．　　思路点拨设　　∴，然后对和两种情况进行讨论，原式=和．　　【例4】已知，，，求（1）的值：（2）的值．　　思路点拨先由条件求出，可得，．　　注这道题充分体现了三个数的

3、平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．　　【例5】(2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是（a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是(　　)　　　A．甲　　B．乙　　C．丙　　D．不能确定　　思路点拨乙商场两次提价后，价格最高．选B　　【例6】已知非零实数a、

4、b、c满足，，求的值．　　思路点拨　原条件变形为：　　∴为±1或0．　　【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料：　　　在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式计算它们的和．(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值．)　　　那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=．　　　用上面的知识解决下列问题：　　为保护长

5、江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．　　1995年1996年1997年　　每年植树的面积（亩）100014001800　　植树后坡荒地的实际面积

6、(亩)252002400022400　　思路点拨　1996年减少了25200－24000=1200，　　1997年减少了24000－22400=1600，　　…　　m年减少了1200+400×(m—1996)．　　1200+1600+…+1200+400(m—1996)=25200．　　令n=m—1995，得　，或（舍去）　　∴m=1995+n=2004．　　∴到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．　　【例8】(“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师

7、要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有(　)　　A．1种　B．2种　C．4种　D．0种　　　思路点拨设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+(n—1)，由题意可知，即n=200．因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+(n—1)，且n与2k+(n—1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；

8、当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B　　【例9】(江苏省竞赛初三)有两道算式：　　　好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，　　　其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是　　．　　　思路点拨　从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：　　　(1)“好”=1