由一道对数不等式所引发的讨论

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1、由一道对数不等式所引发的讨论　　由一道对数不等式所引发的讨论　　杨福海　　（福建省厦门第六中学）　　课堂教学改革一直是教育改革中备受关注的主题。一方面，课堂教学是我国中小学教育活动中最基本构成部分，是中小学生在学校生活的主体部分，是中小学生素质发展的主要渠道，其重要性不言而喻；另一方面，课堂教学改革涉及教育问题的方方面面，它不仅要改变教师根深蒂固的传统教育观念，同时还要改变教师习以为常的教学行为、教学方式乃至生活方式，其艰难性不言而喻。　　着名的教育学家夸美纽斯在他的《大教学论》中有这样的表述：“找出一种教育方法，使教师因此可以少教，而学生却

2、可以多学；使学校因此少些喧嚣，厌恶和无益的劳苦，独具闲暇、快乐及坚实的进步。”这种教育思想一直以来都是教育工的追求，特别是新课程实施以来，我们每一位教师都想能够实现“少教多学”。　　我校从2013年起进行“少教多学”教学模式的探索，强调不拘形式，重在过程。在学习复合函数的单调性这节课中，我课前导学案布置了一道不等式：若logm2＞logn2＞0时，则m，n的大小关系是。本想学生很快就能解决此问题，结果出乎意料地用了近20分钟的时间讨论这道题，也让我再次深深体会了学习一定要从学生的角度来研究，而不能主观地以定式思维出发。　　少教多学提倡学生多交

3、流，多展示。因此上课的第一件事就是让学生把昨晚预习的作业进行展示和交流。在展示预习作业的过程中，雪婷同学认为通过作图能得到m，n的大小关系，于是到黑板上画了图1这样的图形，然后说“根据对数函数的图象与性质，当底数大于1时，底数越大，图象越接近x轴，从而得到n＞m。”我们一般在学生展示完后要接受同学的提问和老师的点评，于是就有同学提出疑问：为什么图象是单调递增的？雪婷同学回答：Qlogm2＞0即logm2＞logm1∴y=logmx单调递增。在回答的过程中，雪婷同学发现了自己所画的图象边上的不应该写式子logm2，于是赶紧改为y=logmx和y

4、=lognx。这告诉我们一个道理，交流使人进步。雪婷同学话音刚落，又有同学提出能否借助直线y=1与图象的交点，如图2更能直观地判断n＞m，理由是logmm=lognn=1。　　我肯定了这个同学的想法，请各小组交流两种判断方法的异同。一小组的同学总结说：两个同学相同之处都是借助了对数函数的图象；第二个同学的方法适用于任何一个对数函数的图象比较底数的大小，更加直观易理解，第一个同学掌握并运用了对数函数的性质，就是要注意区分底数大于1还是小于1。到此，很多同学都以为问题已经解决了。可又有一组同学在交流过程中提出了另一个想法：用赋值法不是更简单吗？令

5、m=2，n=4，满足logm2＞logn2＞0，从而说明n＞m。同学们给予了掌声。这时我提出了疑问，怎么保证没有别的可能性呢？再交流。过后国荐同学补充赋值的依据，m，n＞1且m≠n，因此只有n＞m或n＜m两种情况。再令m=4，n=2不成立，所以n＞m。我顺着这位同学的发言再次提出思考，还有什么方法可以比较两个对数的大小？再交流（我这里特意强调比较两个对数的大小），很快有小组心领神会，子隽同学回答：化同底，看单调。于是。显然，这里利用了logm2·log2m=1的运算性质。但同时也提出了一个问题，能否得到log2m＜log2n，通过交流，欣瑜同

6、学回答，分母大的倒数反而小，另一组有同学提问，如果一个负数一个正数就不符合了。再一组同学补充说把化为log2m＜log2n，两边同乘以log2m·log2n，只有同号时方向才不变，因此只要同号，分母大的就反而小。此时学生又收获了除对数运算性质外的另一个不等式的性质，话音刚落，又有一组同学周臻说，也可以利用换底公式转化为，更容易看出lgm＜lgn，从而1＜m＜n，（此时又复习了一个运算性质）。我看看花了不少时间了，想要结束此话题了，不想又有一个女生说，她们组还有一种解法，设logm2=x1，logn2=x2，则。又∵y=2x单调递增。真是出人意

7、料。竟然也可利用对数式与指数式的互换，利用指数函数的单调性解决问题。这与利用对数函数的单调性有异曲同工之效果。　　看着同学们对问题讨论兴趣的高昂，我再次抛出一个新的问题：若将此题改为已知logm2＞logn2，比较m，n的大小？让学生课后再做思考。　　本节课本来的主题是复合函数的单调性，却没想到一道复习引入题引起这么多的讨论与解决方法。虽然本节课还留下一些问题没有解决，但让我感受到了少教多学的乐趣，感受到了同学们之间交流的重要意义，更感受到了不一样的思维方式。教师在教学过程中要注意分层教学，对待不同的学生，采取不同的教学方法，使得学生的弱点和

8、缺陷得到强化提高，从而保证了学生的学习质量。　　“少教多学”是对传统教学的颠覆，是一种教学模式的创新。其实，“少教多学”也并非是一种全新的事物，在教学的某些环节上或