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《通项公式求法及前n项和公式求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一章数列通项公式的求法1.1、定义法与公式法一，定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴】注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练习1已知：等差数列{an}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d<0.求数列{an}的通项公式an2在等比数列{an}中，，
2、求数列{an}的通项公式an二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，经验证也满足上式，所以注意：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．练习：1.设数列的前项的和，求首项与通项。2已知正数数列的前n项和为，且对于任意的，有（1）求证为等差数列；（2）求的通项公式；1．2、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类
3、型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，练习：1类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(2004全国卷I.15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项例4.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，（2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：所以，，，依次向前代入，得，简记为，这
4、就是叠（迭）代法的基本模式。（3）递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例5．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.例6．已知，，求。解：。类型3递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。(2006.重庆.14）数列中，若，则通项例7.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4递推公式
5、为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）（2006全国I.22）（本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例8.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；例9
6、.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：利用进行求解。(2006.陕西.20)(本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an例10.数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：，于是所以.（2）应用类型4的方法，上式两边同乘
7、以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。◆例11.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即…………………………………………（1）又因为所以…….即………………………（2）由（1）、（2）得：，四、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用
8、待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a
