数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法(史上最全的方法和习题)

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1、数列专题训练1、数列的通项公式与前n项的和的关系(数列的前n项的和为).2、等差数列的通项公式；3、等差数列其前n项和公式为.4、等比数列的通项公式；5、等比数列前n项的和公式为或.常用数列不等式证明中的裂项形式:（1）(;(2)(3)(4);(5)(6))一.数列的通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有

2、……，经验证也满足上式，所以3.作商法：已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则______；4.累加法：若求：。例.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，例：已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an.解：∴，，，···，将以上各式相加得又因为当n=1，成立，∴5.累乘法：已知求，用累乘法：。例.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例：已知,求通项an.解：∵∴，，…，把以上各项式子相乘得∴又当n=1时，成立∴6.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中

3、有多种不同形式①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.②为一次多项式，即递推公式为例．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得备注：本题也可由,（）两式相减得转化为求之.③为的二次式，则可设;（2）递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型（1）的方法解决。例

4、.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以（3）递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型（2）的方法求解。例.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。7.形如或的递推数列都可以用倒数法求通项。例：解：取倒数：是等差数列，8、型该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。两边取对数得设∴原等式变为即变为基本型。例．已知，求其通项公

5、式。解：由知且，将等式两边取对数得，即，∴为等比数列，其首项为，公比为2∴，∴。通项公式为二.数列的前n项求和的求法1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.例、已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共

6、性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.例3、求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.54.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.例4、求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴例5、求数列前n项的和.解：由题可

7、知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥.例6、求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝例7、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：∵　∴（