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《数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法的方法和习题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数列专题1、数列的通项公式与前n项的和的关系S,n1an).an(数列｛aj的前n项的和为snaa2SnSn!，n22、等差数列的通项公式anai(n1)ddnaid(n3、等差数列其前n项和公式为n(aian)n(n1)Snna1d224、等比数列的通项公式anaen1aiqn(nN*)；q5、等比数列前n项的和公式为Sn6(1qn)1qna1,q1(1)(1n(n+1)1丄1nn1n(n+k)111k(n厂)；nq,q1常用数列不等式证明中的裂项形式111,11⑵k22k12(k1k1)(3)1111111k1(k1)kk2(k1)kk1k1111⑷n(n1)(n2)2n(n1)(n
2、1)(n2)n11n1!n!n1!2(打Un1n(n1)一.数列的通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例.等差数列an是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5af.求数列an的通项公式.解：设数列an公差为d(d0)•••a1,ag,a9成等比数列，2a3a1a9,即(a12d)2a〔(a〔8d)d2a1d•/d0,■-a1d……•…①•-S5a；•5a1542d(a14d)2…②由①②得：a13,d3552「an5(n1)2.公式法：已知Sn(即a1a2Lanf(n))求an，用作差法:anS1,(n1)。SnSn1,(n2)例.已知
3、数列an的前n项和Sn满足Sn2an解：由a1S1an12时，有2an22a11a1anSnSn12(1)n2,.经验证ai(1)1.求数列an的通项公式。2(anan1)2a1a221也满足上式，所以an[2n233.作商法：已知a1a2Lanf(n)求an，用作商法:如数列｛an｝中，a11,对所有的n4.累加法：右an1anf(n)求an:2都有a1a2a32.ananan1)例.已知数列an满足a11an12解：由条件知：an1an12n分别令n1,2,3,,(n1)(a2aj(a3a2)(a4a?)所以ana111n11彳13a1an1一—22n2例:已知数列，且a1=2，an
4、+1=an+n，求解:an1ann-anan1n1，an1an2n(ananan(an11~~2nn1an2)，求将以上各式相加得an又因为当n=1，a12a111)2•••an25.累乘法：已知a1an例.已知数列an满足解：由条件知乘之，即23例：已知a13,an1又a1(1(nN)f(n)求ana1anan1anan3na(1)n,1)n1]f(1),(nf(n)(f(n1)An21)o2)则a3a5(a2a1)a1(n2)。an。n(n1)代入上(anann:得1)1(n1)个等式累加之，即nan.2，an2an33n12成立,用累乘法:nann13a2a11an23n求通项an
5、.anan1an。an1lan2电4(na12)。1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累2解：tan1nan3nan1把以上各项式子相乘得(n1)n1.anan13nan2,亞3a1(11)13=3成立又当n=1时，a〔(n1)n1•••an3F6.已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列)。(1)形如an1panfn只需构造数列①fn为常数，即递推公式为an1pan，消去fn带来的差异•其中fn有多种不同形式(pq(p1)0))。bnq(其中p,q均为常数,解法：转化为：an1tp(ant)，其中例.已知数列an中,解：设递推公式an1a12an1,an12an3可
6、以转化为an1an132(an3)，令bnan3，贝ybia1项，2为公比的等比数列，则②fn为一次多项式，bn42n1即递推公式为an1例.设数列ana14,an3an12n解：设bnanAnB,则anbnAn取bnanan23nn备注：本题也可由1…(1)则bnan3an12n1an2)2转化为③f(n)为n的二次式，则可设bnanan13(an也，再利用换元法转化为等比数列求解。P求apan1,(nn・2(ant)即an12antt3•故递推公式为,口b4,且n1bn所以ann1an13an32n13.2.所以bn是以bi4为首rns2)，求an.将an,an1代入递推式，得3bn
7、1，又b16，故bn63n3n代入(1)得bnan，an1Pbn1An23an22(nq求之.BnC;1)13)两式相减得(2)递推公式为an1panqn(其中p,q均为常数，(pq(p其中p,q,r均为常数)1)(q1)0))。(或an1npanrq,解法：该类型复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以1，得:an1n1q弓I入辅助数列bn(其中bnannq)，得:b例•已知数列an中，a15,an61an3n1卫bn-再应用
