第3节 函数极限

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1、第三节函数的极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解教学过程：一、函数极限的定义一般概念在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。1．函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零．如果函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作．它的解析定义是：设函数当大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着

2、正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）．注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于．如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作．如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作．显然，存在的充分必要条件是2．函数当时的极限满足的的范围称作以为中心的邻域，满足的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作．现在考虑自变量的变化过程为．如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限．当然，这里我们首先

3、假定函数在点的某个去心邻域内是有定义的．它的解析定义是：设函数在点的某一去心邻域内有定义．如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）．注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于；（3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关．显然，二、函数极限的性质定理1（极限的局部保号性）如果，而且（或），那么就存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有（或）．定理1’如果（），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有．

4、定理2如果在的某一去心邻域内（或），而且，那么（或）．上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的．但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形．在的情形，在的左侧，．在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或．类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或．根据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即．因此，即使和都存在，但若不相等，则不存在．图1-7例1函数当时的极限不存在．证当

5、时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）小结与思考：本节讲述了各种趋势下的极限的定义．作业：作业见作业卡