心理统计学——8-方差分析

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1、第八章方差分析方差分析(AnalysisofVariance)简称ANOVA,又叫变异数分析,能够解决多个总体均值是否相等的检验问题,其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总体变异的贡献大小,从而确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响.Z检验、ｔ检验是比较两个平均值差异的统计方法。然而,在大多数的实验中,包含两种以上实验处理,需要同时比较两个以上的样本平均数,这时需要用方差分析。可以把方差分析看成是ｔ检验的扩展。8.1方差分析的原理及其基本过程8.2单因素方差分析8.3多因素方差分析8.1方差

2、分析的原理及其基本过程8.1.1基本原理例8.1某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共分四种：橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售情况，见下表：问饮料的颜色是否对销售量产生影响。该饮料在五家超市的销售情况别的因素已作适当的控制，各超市销售量的差异可能是抽样的随机性造成的，也可能是由于人们对不同颜色有所偏爱造成的。所以上述问题归结为一个检验问题。即检验饮料颜色对销

3、售量是否有影响。零假设H0：1＝2＝3=4备择假设H1:1、2、3、4中至少有两个不相等因素：自变量、独立的变量，方差分析研究的对象。如本例中颜色是因素。因素的水平：一个因素的不同情况或取值。如：饮料中四中不同的颜色（无色、粉色、绿色、橘黄色）因变量：自变量影响的结果。如：销售量单因素方差分析：只有一个因素，一个因变量多因素方差分析：有多个因素，一个因变量对变异的分解，即平方和分解。例8.2下表是A、B、C三种实验处理的数据，其中ｋ表示有三种实验处理；ｎ＝5表示每种实验处理中有5个实验

4、数据；Xj表示某一种实验处理的平均数;Xt表示总平均数。如果F1,说明数据的总变异中大部分是由实验误差或个体差异造成的,不同的实验处理A、B、C之间差异不大，即实验处理基本无效；如果F>1且落入F分布的临界区外,即只有实验处理的作用显著地大于组内变异的作用时,才能确认实验处理的有效作用,A、B、C三种处理之间的差异显著。方差分析的主要任务是检验组间方差在统计上是否显著地大于组内方差。8.1.2基本过程(步骤)1、建立假设2、求平方和3、确定自由度4、求均方5、进行F检验6、列出方差分析表1、建立假设

5、H0：1＝2=3H1：1、2、3中至少有两个不等2、求平方和可以直接从原始数据求平方和，公式为：3、确定自由度k=3,n=5,dfb=k-1=3-1=2,dft=nk-1=3×5－1＝14，dfw=dft-dfb=14-2=12=k(n-1)4、求均方5、进行F检验（单侧）6、列出方差分析表8.1.3方差分析的基本条件1、方差分析的基本假设(1)总体正态分布总体、每个子总体服从正态分布；(2)变异的可加性总变异可以分解成几个不同来源的部分,这几个部分变异的来源在意义上必须明确,而且彼此要相

6、互独立。(3)各处理内的方差一致(方差齐性)总体、各子总体的方差相等。各实验处理内的方差彼此应无显著差异。这是方差分析中最重要的假定。若不能满足，原则上不能进行方差分析。2、方差分析中的方差齐性检验齐性检验常用哈特莱（Hartley）法,8.2单因素方差分析8.2.1、单因素完全随机设计的方差分析一个因素，一个因变量完全随机设计(Completerandomizeddesign):把被试随机分成若干组,每个组分别接受一种实验处理。完全随机分组后，各实验组的被试之间是相互独立的，因而这种设计又称“独立组

7、设计”或被试间设计。该设计的不足之处：误差项既包括实验本身的误差又包括个体差异引起的误差，因而它的检验效率往往不高。单因素的完全随机设计分几种情况：1、等重复设计各实验处理组的样本容量相同。例8.3为研究不同科目的教师当班主任,对学生某一学科的学习是否有影响。把40名学生随机分派到5名教不同科目的班主任负责的班级中，经过一段时间以后对这40名学生进行数学考试，结果见下表。用方差分析的方法检验5组不同班主任的学生数学成绩是否有显著差异。（其中，A表示班主任教数学，B表示班主任教语文，C表示班主任教生物，

8、D表示班主任教地理，E表示班主任教物理）。解:(1)建立假设H0:1=2=3=4=5(2)平方和(5)F检验F=MSb/MSw=78.6/24.17=3.252,查F分布表(单侧)F0.05(4,35)=2.64,F>F0.05,p<0.05,在不同班主任的班级中数学成绩有显著不同。(6)方差分析表*表示在0.05水平上显著;**表示在0.01水平上显著2、不等重复设计各实验处理组样本容量不同。方差分析过程与等重复设计时基本相同。只是在计算组间