八年级培优第十一讲 角平分线定理

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1、第十一讲角平分线定理【学习目标】1、掌握角平分线的定理和逆定理。2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】1、角平分线性质定理的证明及应用。定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理解释：“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。2、角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3、定理：三角形的三条角平分线

2、相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。4、用尺规作角的平分线：【典型例题】例1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1=∠2。求证：OB=OC。例2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。例3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.例4、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平

3、分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC，过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的________

4、__上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上例5、如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：。【经典练习】一、填空题1、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.2、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.图1图2图33、图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=___

5、_cm.4、图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.二、选择题1、给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列结论正确的有（）①如果(x－1)(x－2)=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内

6、的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上A.1个B.2个C.3个D.4个3、已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.124、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等5、下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余

7、角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等6、如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（）A.2α－βB.α－βC.α+βD.2α图4图57、如右上图5，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③D在∠BAC的平分线上，以上结论中正确的是（）A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③三、解答题1、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平

8、分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.2、已知，如图，过菱形ABCD的顶点C作,分别交AB、AD的延长线于E、F.试说明CE=CF【课后作业】一、填空题1、如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2、如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3、如图（3），∠BAC=6