数学必修2第四章知识点小结及典型习题

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1、第四章圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.二、圆的方程：（标准方程和一般方程）（一）标准方程：，圆心，半径为圆的参数方程（还未学习，暂作了解），为参数，为参数1、求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材例2②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点过原点圆心在轴上圆心在轴上圆心在轴上且过原点圆心在轴上且

2、过原点与轴相切与轴相切与两坐标轴都相切（二）圆的一般方程：1、圆的一般方程的特点：(1)①和的系数相同，且不等于0．　②没有xy这样的二次项．(2)求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材例4(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。2、表示圆方程，则3、常可用来求有关参数的范围。4、（1）当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为；（2）当时，表示一个点；（3）当时，方程不表示任何图形。例：若方程表示圆，则实数a的取值范是（）。A、B、C

3、、D、（三）注意求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。三、点与圆的位置关系点与圆的位置关系：1、判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系点在圆内；点在圆上；点在圆外2、涉及最值：（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值、思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）例：若点(1，1)在圆的内部，则实数a的取值范围是（）。A.—11D.a=±1

4、四、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式：（一）直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，判断方法如下：1、设直线，圆，圆心到直线l的距离为，则有直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交；这一知识点可以出题：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2、设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有；；注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。（二）直线与圆相切1、知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线与圆相切意味着什么？圆心到直线的距离恰好等于半径2、常见题型——求过定点的切线方程

5、（1）切线条数：点在圆外——3条；点在圆上——1条；点在圆内——无（2）求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点，圆：，[]第一步：设切线方程第二步：通过，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了！ii）点在圆上1）若点在圆上，则切线方程为会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点在圆上，则切线方程为碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数。如：1、过点作圆的切线，求切线方程。（答案：和）2、经过点P(1，—2)点

6、作圆的切线，则切线方程为3、经过点P(—4，—8)点作圆的切线，则切线方程为4、经过点P(1，—2)点且与圆相切的直线方程为（3）求切线长：利用基本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程（三）直线与圆相交1、求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——很常用弦长公式：（暂作了解，无需掌握）2、判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.3、关于点的个数问题如：1、若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________.答案：2、已知直线：3x+4y－12=0与圆C：C：(x—3)2+(y—2)2=4.请选择适当的方法判断

7、直线与圆C的位置关系;若直线与圆C相交，请求出直线被圆C截得的弦长。解法1：（代数法）解法2：（几何法）总结：(1)代数法：设直线与圆的方程连立方程组，消元后所得一元二次方程为，其两个不等实根为，.则其两点弦长为

8、AB

9、=。(2)几何法；设直线：Ax+By+C=0，圆C：，圆心C(a，b)到直线的距离=，弦长

10、AB

11、=2。3、圆的上点到直线x+y—14=0的最大距离和最小距离为和。最大距离和最小距离的差为五、