轴对称与中心对称关系

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1、典型例题轴对称与中心对称的关系例1（05年河北省中考）等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：正方形和菱形都是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，等边三角形是旋转对称图形，旋转角度是120°，240°，等腰梯形只是轴对称图形．答案：B例2如图23-2-1，画出△ABC关于点O成中心对称的图形．分析：连接AO、BO、CO，并分别延长AO、BO、CO，到A′、B′、C′使OA′＝AO，OB′＝BO，OC′＝OC；再连接A′B′、B′C′、A′C′．则△A′B′C，就是△ABC关

2、于点O成中心对称的图形．答案：如图23-2-1，△A′B′C′即为所求作的图形．例3如图23-2-2，点A的坐标为（3，3），将△ABC先向下平移4个单位得△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点O逆时针旋转180°得△A″B″C″．请你画出△A′B′C′和△A″B″C″，并写出点A″的坐标．分析：只需作出三角形三个顶点的对应点，将△A′B′C′绕点O逆时针旋转180°得△A″B″C″，即作△A″B″C″与△A′B′C′关于点O成中心对称，A点向下平移4个单位得A′，其坐标为（3，－1），A″与A′关于O点成中心对称，故A″的坐标为（－3，1）

3、．答案：如图23-2-2，△A′B′C′和△A″B″C″即为所求作的三角形，点A″的坐标为（－3，1）．例4（05年宁波市中考）已知：如图23-2-3，平行四边形ABCD．（1）画出平行四边形A1B1C1D1、使平行四边形A1B1C1D1，与平行四边形ABCD关于直线MN对称；（2）画平行四边形A2B2C2D2，使平行四边形A2B2C2D2与平行四边形ABCD关于点O中心对称．（3）平行四边形A1B1C1D1与平行四边形A2B2C2D2是对称图形吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．分析：根据轴对称和中心对称的特征分别找出A、B、C、D四个

4、点关于MN的对称点A1B1C1D1，关于O点的对称点A2B2C2D2．顺次连接起来即得平行四边形A1B1C1D1和平行四边形A2B2C2D2；判断平行四边形A1B1C1D1与平行四边形A2B2C2D2的对称关系，连接几对对应点，发现对应点的连线被直线EF垂直平分，故平行四边形A1B1C1D1与平行四边形A2B2C2D2是成轴对称的图形，对称轴是直线EF．答案：如图23-2-3，（1）平行四边形A1B1C1D1，即为所求的平行四边形．（2）平行四边形A2B2C2D2即为所求的平行四边形．（3）是轴对称图形，对称轴是直线EF．拓展延伸当对称轴互相

5、垂直时，两次轴对称得到的图形与原图形成中心对称．跟踪巧练1如图23-2-4，∠DOE为直角，如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′，△A′B′C′关于OE的对称图形是△A″B″C″，则△ABC与△A″B″C″的关系是（）A．以∠DOE的平分线成轴对称B．关于点O成中心对称C．平移关系D．不具备任何关系跟踪巧练答案：1．B提示：当对称轴互相垂直时，两次轴对称后得到的图形与原图形成中心对称．借助中心对称图形的性质将一些图形分成面积相等的两部分例5有5个大小相同的圆放置成如图23-2-5所示的那样，若想用一条直线，把它们分割成面积相等的两部

6、分，应如何画？分析：圆O1、O2、O4、O5组合在一起成为一个中心对称图形，对称中心为O4O2、O1O5的交点M，圆O3是中心对称图形，对称中心是点O3，过点M和O3的直线既平分圆O1、O2、O4、O5，又平分圆O3，即直线MO3把这五个圆组成的图形面积平分，如图23-2-6，类似的还有四种画法．答案：如图23-2-6，还有如图23-2-7中，（1）（2）（3）（4）四种画法．跟踪巧练2一块如图23-2-8的钢板，请你用一条直线将其分割成面积相等的两部分．（用3种方法，保留痕迹）2．解：如图23-2-12（1）（2）（3）三种画法．