清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)

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1、清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)一、选择题:(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)题号12345678答案ADBCBCDA二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)9.20;10.8cm;11.;12;13.30°或150°;14.2三、解答题:(本大题共4小题,共36分)15(本题满分8分)甲、乙、丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率是,甲、乙、丙三人都做对的概率是,甲、乙、丙三人都做错的概率是,(1

2、)求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率;(2)求独立做对这道题的人数的概率分布与数学期望.解:(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A、B、C,依题得:甲、乙、丙三人中恰好有一人做对这道题的概率为:的可能取值为:0,1,2,3:;;;;的概率分布0123第6页共6页清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)16.(本题满分8分)如图,正三棱柱的底面边长为a,点M在边BC上,是以点M为直角顶点的等腰直角三角形. (1)求证:; (2)求点C到平面的距离.解:(1)∵△为以点M为

3、直角顶点的等腰直角三角形,∴ 且.∵ 正三棱柱, ∴ 底面ABC.  ∴ 在底面内的射影为CM,AM⊥CM.∵底面ABC为边长为a的正三角形,∴ 点M为BC边的中点.连结交于点,在正三棱柱中,四边形为平行四边形,因此点是的中点,∴,,,∴(2)知AM⊥且AM⊥CM,,∴ AM⊥平面, 过点C作CH⊥于H,∵CH在平面内, ∴CH⊥AM,又,有CH⊥平面,即CH为点C到平面AMC1的距离,且.  ∴ 点C到平面的距离为底面边长为.ABCDABCDEFG 17.(本题满分10分)已知矩形ABCD中,AB=,AD=1.

4、将△ABD沿BD折起,使点A在平面BCD内的射影落在DC上,E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点.(1)求证:DA⊥平面ABC;(2)求二面角G-FC-E的大小.方法1:(1)证明:依条件可知DA⊥AB.∵点A在平面BCD上的射影落在DC上,DC是DA在平面BCD上的射影,又依条件可知BC⊥DC,∴BC⊥DA.∵AB∩BC=B,∴由得DA⊥平面ABC.(2)解:由(1)结论可知DA⊥平面ABC,∵AC、CG平面ABC,∴DA⊥AC,DA⊥CG.由DA⊥平面ABC得△ADC为直角三角形,易求出AC=1.于是△A

5、BC中AC=BC=1.∵G是等腰△ABC底边AB的中点,∴CG⊥AB.∵AB∩DA=A,∴CG⊥平面ABD.第6页共6页清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)∵CG平面FGC,∴平面ABD⊥平面FGC.在平面ABD内作EH⊥FG,垂足为H,∴EH⊥平面FGC.作HK⊥FC,垂足为K,连结EK,故EK⊥FC.∴∠EKH为二面角E-FC-G的平面角.ABCDEFGxyz设Rt△ABD边BD上的高为h,容易求出h=.∴EH=.在△EFC中,容易求出FE=,EC=,FC=.∴FC2=FE2+EC

6、2,∴∠FEC=90°于是在Rt△FEC中容易求出EK=∴sin∠EKH==.于是二面角E-FC-G的大小为arcsin.方法2:(1)证明:同方法一(2)∵点A在平面BCD上的射影落在DC上∴如图,以CB所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,过点C,平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),B(1,0,0),D(0,-,0),由(1)得△ADC为直角三角形,易求出AC=1,因此A(0,-,)E(,-,0),F(0,-,),G(,-,).∵=(-,,0),=(-,-,),设平面FEC的

7、一个法向量为由取得.又=(-,,-),=(-,-,0),同理可求出平面FGC的一个法向量为∴∴于是二面角E-FC-G的大小为arccos.18.(本题满分10分)如图,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,设点E是棱PB上的动点(不含端点),过点A,D,E的平面交棱PC于F.(1)求证:BC//EF;(2)试确定点E的位置,使PC⊥平面ADFE,并说明理由.第6页共6页清华附中2005-2006高二第二学期期末数学试题参考答案(理)解:(Ⅰ)∵BC//AD,∴BC//平面ADFE又∵平面ADFE∩

8、平面PBC=EF  ∴BC//FE(2)假设棱PB上存在点E,在正方形中,∵PD⊥平面ABCD∴,又∵,∴∴PC⊥AD,要使PC⊥平面ADFE,只要PC⊥DF即可,不妨设AD=1,则PD=  CD=1,PC=2,∴∵BC//EF,∴当时,PC⊥平面ADFE附加题:(满分50分)一、选择题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)1.72.83.4.二、解答题(本大题共3

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