常系数微分方程

《常系数微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4.2常系数线性微分方程的解法-------对于一般的线性微分方程没有普遍的解法基本点常系数线性微分方程及可化为这一类型的方程的解法-----只须解一个代数方程。某些特殊的非齐次微分方程也可通过代数运算和微分运算求得它的通解。掌握：特征方程与特征根，及求常系数线性方程的通解待定系数法与拉普拉斯变换法求非齐次线性方程的特解。4.2.1复值函数与复值解复值函数定义极限与连续导数与微分可微函数的性质1.复值可微函数与实值可微函数一样具有线性性。是方程的复值解,则都是实值函数定理8如果方程(4.2)中所有系数和共轭复值函数复值解：如果

2、定义于区间[a,b]上的实值变量复值函数x=z(t)称为方程(4.1)的~，如果和有复值解都是实定理9如果方程4.2.2常系数齐次线性微分方程和欧拉方程定义：设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即解法：用欧拉待定系数法求方程(4.19)的基本解组.(3)根据特征根的不同情况分别进行讨论:特征根是单根的情形如果特征根有复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。特征根是有重根的情形如果特征根有重复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。作业P1642()思考p1641特征根是有重根的

3、情形证明分两种情况：可得直接计算易得因此于是(4.19)化为从而y=f(x)只要找到y，就能找到x（通过f,且通过等式联系）于是(4.26)全体n个解构成方程(4.19)的基本解组。证明（反证法）假若这些函数线性相关，则有证明（反证法）假若这些函数线性相关，则有这就产生了矛盾。因此证明了(4.26)全部n个解线性无关，从而构成了方程(4.19)的基本解组。例1求方程例2求方程解特征方程故方程的通解为解特征方程例3求方程例4求方程因此方程有四个实值解cost,tcost,sint,tsint.故通解为解特征方程因此方程的通解为解特

4、征方程欧拉方程：欧拉方程解法：例5求方程例6求方程4.2.3非齐次线性微分方程求非齐次线性方程的通解的的方法：常数变易法比较系数法拉普拉斯变换法常系数非齐次线性微分方程：(1)比较系数法类型I比较系数法确定(4.33)中的待定常数：分两种情形讨论：下面对此加以证明.例7求方程例8求方程例9求方程作业P1642(7,10),3(1,3),4(1)思考2(15)(1)比较系数法类型II将f(t)表为指数形式根据非齐次线性微分方程的叠加原理(习题4.1第2题)，方程与的解之和必为方程(4.32)的解.例10求方程例11利用复数法求方程

5、(2)拉普拉斯变换法拉普拉斯变换给定微分方程拉普拉斯变换例12求方程例13求解方程例14求方程例15求解方程作业P1642(17,19),3(1,3),4(2)思考6，74.2.4质点振动(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)无阻尼强迫振动(4)有阻尼强迫振动(1)无阻尼自由振动(4.39)的特征方程因此方程(4.39)的通解为(2)有阻尼自由振动(4.43)的特征方程(I)小阻尼的情形：(II)大阻尼的情形：(III)临界阻尼的情形：(3)无阻尼强迫振动(4.48)的特征方程(4)有阻尼强迫振动(4.43)的特征方程(

6、I)小阻尼的情形：(II)大阻尼的情形：(III)临界阻尼的情形：