切线判定例题讲解

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1、圆-切线的判定　　一、知识回顾　　1、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。　　2、切线长定理　　（1）、切线长:在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。（2）、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。

2、　　二、典型例题　　例1：（2012·自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．　分析：（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用勾股定理求解。（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．　解答：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，

3、　∴∠BAP=90°；又∵AB=2，∠P=30°（30°所对的边是斜边的一半）∴BP=4　（2）证明：如图，连接OC，OD、AC　∵AB是⊙O的直径　∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）∴∠ACP=90°又∵D为AP的中点∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）　在△OAD和△OCD中{OA=OC　{OD=OD(公共边)　{AD=CD∴△OAD≌△OCD（SSS）∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）　又∵AP是⊙O的切线，A是切点∴AB⊥AP∴∠OAD=90°∴∠OCD=9

4、0°，即直线CD是⊙O的切线　例2：（2012·济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．分析：（1）根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可以得到OD∥BC，CD=1/2BC；（2）连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质

5、定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等证．　　解答：（1）猜想：OD∥BC，CD=1/2BC．证明：∵OD⊥AC，　　∴AD=DC　　∵AB是⊙O的直径，　　∴OA=OB　　∴OD是△ABC的中位线，　∴OD∥BC，OD=1/2BC　（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E∵OD⊥AC，OD经过圆心O∴弧AE=弧CE，即∠AOE=∠COE在△OAP和△OCP中∵OA=OC，OP=OP　∴△OAP≌△OCP　∴∠OCP=∠OAP　∵PA是⊙O的切线　∴∠OAP=90°　∴∠OCP=90°，

6、即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线　　例3：（2011·湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．　分析：（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；　（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三

7、角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．　解答：（1）连接OD∵OA=OD∴∠A=∠ADO又∵∠A+∠CDB=90°∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°∴BD⊥OD∴BD是⊙O切线　　（2）连接DE，…（7分）∵AE是直径∴∠ADE=90°，…（8分）又∵∠C=90°∴∠ADE=∠C∴DE∥BC∴△ADE∽△ACB

8、，…（9分）∴AD：AC=DE：BC又∵D是AC中点∴AD=1/2AC∴DE=1/2BC∵BC=6，∴DE=3…（11分）∵AD：AE=4：5在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，　那么DE=3x∴x=1∴AE=5　　三、解题经验　　以上三个例题都不只是单独考察了切线的判定和性质，都参合得有平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是找到思路，然后确定辅助线，这种题一般都是证明题，