缓和曲线任意点坐标公式

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1、缓和曲线任意点坐标的公式发展起来。曲线桥梁的理论分析计算方面，中国不少院校、科研单位进行了一些理论研究与探索。但目前很少看到有关曲线桥梁的几何设计计算资料，这给桥梁设计者及施工技术人员在设计、施工中带来许多困难。　　曲线桥梁常用的曲线形状，有圆曲线和缓和曲线。对于圆曲线，桥梁中线以及桥梁内外边缘线均为一同心圆曲线，几何设计计算较为简单，而对于缓和曲线段，桥梁中线为缓和曲线，但对边缘线、栏杆轴线及主梁边腹板曲线等是随中线曲率变化的1条渐变曲率曲线，而不再是缓和曲线。在过去的设计中，对缓和段上述特征曲线的计算，

2、是近似按缓和曲线来计算，这对于曲率大、曲线段较长的情况，误差会很大，特别是对有加宽、超高的缓和段，误差更不可忽视。以往设计主梁钢筋骨架时，按缓和曲线计算，则骨架出现过长或过短的情况。本文以缓和曲线长度作为参数，提出了弯桥缓和段特征曲线的几何计算式及超高计算式。1　缓和段特征曲线几何设计计算1.1　缓和曲线的坐标、切线角　　对缓和曲线(桥中线)上任一点M(x,y)，如图1所示，相应的坐标、切线角β为　　　　(1)式中：l为任意点M至原点0(即ZH点)的曲线长；R为缓和曲线终点的曲率半径；ls为缓和曲线全长。图

3、1　缓和曲线1.2　平行于内(外)边缘线曲线的参数方程　　对于一般加宽，可在缓和曲线范围内完成。设自ZH点开始，桥梁内、外侧沿缓和曲线长按线性加宽。平行于内侧边缘线的曲线A1B1上任一点M1(x1,y1)在缓和曲线上点M(x,y)处的曲率半径上，且设M1N1=d1，如图2所示。由几何关系可得　　　　(2)式中：b1(l)为M、N1之间的距离，即点M处桥内侧宽度，可按下式计算式中：b1(0)、b1(ls)分别为缓和段起点和终点桥中线至内侧边缘宽度；其它符号意义同前。图2　平行于内、外边缘线曲线参数方程计算图式

4、　　将式(2)中sinβ、cosβ分别以级数表示，即　　将上式及式(1)代入式(2)并略去高阶项后得曲线A1B1的参数方程　　　　(3)　　同理，可得平行于外侧边缘线曲线A2B2参数方程　　　　(4)式中：d2为曲线A2B2与外边缘线间的距离；b2(l)为缓和曲线长l处外侧桥宽，计算式为　　　　(5)式中：b2(0)、b2(ls)分别为缓和段起点和终点中线至外侧边缘宽度；其它符号意义同前。　　从式(3)、(4)可以看到：当di=0(i=1,2)，方程则为内、外边缘线参数方程；当bi(l)=ci(常数，i=1

5、,2)，式(3)、(4)则为未加宽平行于边缘线(或桥中线)曲线的参数方程。当bi(l)=ci，且di=0,式(3)、(4)即为文献［1］、［2］导出的计算机处理的边缘线曲线拟合方法，仅是本计算方法的1个特例。1.3　平行内(外)边缘线曲线的弧长计算　　以曲线A1B1上任意一段弧长为例，将式(3)中2个方程等式2边分别对l求导得则所求弧长S为　　经积分变换，利用Gauss-legerdre求积公式可得　　　　(6)式中：ti为legerdre　n+1次多项式pn+1(t)的零点；Ai为求积系数；　　同理，可推

6、导出曲线A2B2上任一段弧长的计算式，这里不再赘述。2　缓和段超高计算　　如图3所示，A、C分别是缓和段起点和终点，A点处桥面路拱与直线段路拱一致，即为双坡横断面，坡度为i(0)。设自A点开始，路拱双坡外侧逐渐提高，到达B点时与内侧成通坡，其坡度为i(lt)。自B点起，逐渐提高桥面单坡坡度，一直到缓和曲线终点c时提高到i(ls)。图中lt为缓和段起点到通坡断面间的距离，即为曲线AB的长度。图3　缓和曲线段起高计算图式2.1　超高段拱坡坡度计算　　缓和段上的超高值与缓和段起点的距离成正比变化，因此，缓和段的超

7、高计算式如下i(l)=i(0)内侧　　　　(7)式中：i(t)=i(0)；lt计算式为　　　　(8)2.2　超高计算　　对于超高缓和段的形成过程常用绕桥面内侧边缘旋转的形式，如图3所示。现以此形式推导加宽缓和段超高计算式。　　超高计算图式如图4所示。图4中横轴为缓和曲线的法向，其正半轴一方的区域为外侧，负半轴一方区域为内侧。图4　超高计算图式令　　　　b(0)=min［b1(0),b2(0)］于是，缓和曲线长l处的法向断面上任一点k处的超高Δh(l)计算式如下　　内侧超高Δh(l)计算式为　　　　(9)　　

8、外侧超高计算式为　　　　(10)若fk=0，则式(9)、(10)中的超高即为缓和曲线(桥中线)的超高计算式3　算例与结论　　某桥位于缓和曲线路段上，缓和曲线全长ls=100m，圆曲线半径R=200m，路基宽B=11m，半幅宽5.5m，桥梁起点位于缓和曲线长25.15m处，终点位于缓和曲线长70.15m处，路基加宽值为0.8m(内侧加宽)。求桥内外侧边缘线的长度。用本文计算方法及用文献［2］方法计算的结果列入表1中